Questão (01) (05 pontos) Mostre, por indução, que se verificam:
a)
. Danielly, Manoela
a)
Passo 1
O enunciado pede que se mostre, por indução, a seguinte desigualdade (vou transcrever com clareza os símbolos e as faixas de soma que aparecem):
Informações relevantes fornecidas ou necessárias (retiradas do enunciado e hipóteses que precisamos assumir para que a desigualdade faça sentido):
- A soma à esquerda é a soma dos primeiros
termos da série harmônica generalizada . - A soma do meio é a mesma soma, mas truncada em
, ou seja, contém mais termos do que a soma até . - Para que a série e a cota geométrica abaixo funcionem, é necessário assumir que
(assim e a razão geométrica que aparecerá fica menor que ).
O que o problema quer: provar a cadeia de desigualdades para todo inteiroe real , usando o princípio da indução.
Passo 2
Estratégia geral (sem ainda resolver): vamos mostrar as duas desigualdades separadamente.
- A desigualdade da esquerda é imediata por monotonicidade do somatório (mais termos positivos => soma maior).
- A desigualdade da direita será provada por indução em
. A ideia chave é agrupar os termos da soma em blocos do tipo . Em cada bloco todos os denominadores são , então cada termo do bloco é , e o bloco tem termos. Assim o somatório do bloco é . Somando esses blocos teremos uma soma geométrica de razão , e a fórmula da soma geométrica truncada dará a expressão do lado direito.
Antes de entrar na indução, vou explicar a fórmula da soma geométrica que usarei.
Passo 3
Pequena aula: soma geométrica finita e notação. Seja
um número real com
. A soma geométrica finita
tem a fórmula derivada assim: multiplica-se por
e subtrai-se,
ou seja
e portanto
No nosso caso a razão será
. Como
temos
e logo
, então a fórmula vale.
Passo 4
Prova da desigualdade da esquerda (comentário simples e obrigatório). Como
para todo
, a soma com termos positivos
é soma de menos termos do que
Logo,
Isso resolve a primeira desigualdade.
Passo 5
Preparação para a indução: defino a soma parcial que vou controlar por indução. Para
escrevo
Também defino a razão
Note que, por
, tem-se
.
A afirmação que vou provar por indução em é:
A afirmação que vou provar por indução em
Passo 6
Base da indução (
). Temos
e assim
Pela fórmula com
,
Logo
, a base
está verificada (na verdade há igualdade).
Passo 7
Passo indutivo: suponha que para algum
com
valha
Vamos provar que
.
Escrevendo como soma de dois blocos:
Escrevendo
O primeiro somatório é
. No segundo somatório, para
com
vale
, portanto cada termo satisfaz
Há exatamente
termos nesse segundo somatório (do
até
inclusive). Assim
Portanto
Usando a hipótese indutiva
obtemos
Fazendo uma soma algébrica:
Assim
. Isso conclui o passo indutivo.
Passo 8
Conclusão da indução e combinação das desigualdades. Pelos passos anteriores, para todo
e
vale
Reescrevendo
e
, obtemos a forma pedida:
Juntando com a desigualdade da esquerda (Passo 4) chega-se exatamente à cadeia do enunciado:
Passo 9
Comentário final (dica prática para a prova). A técnica usada é prática e recorrente: agrupar termos em blocos cujos tamanhos e menores valores sejam potências de
para permitir um majorante simples. Sempre verifique a condição para a razão geométrica ser menor que 1 (aqui foi preciso
). Nada de complicação: base simples, passo indutivo direto e uso da soma geométrica.