06 - A altura da pressão no centro de certa seção de um conduto plástico com 100 mm de diâmetro é de
. No centro de outra seção localizada a jusante, a pressão vale
. Se a vazão for de
, qual a distância entre essas seções? Considerar uma tubulação horizontal e
.
Passo 1
Entender o que o enunciado dá e pede, listando tudo com clareza:
- Diâmetro da tubulação:
. - Em uma seção a montante a “altura da pressão” (ou carga de pressão) no centro é
(ou seja, a carga hidráulica de pressão nessa seção é ). - Em outra seção a jusante a pressão no centro é
. - Vazão: o enunciado escreveu
. Interpreto isso como , que é (fluxos desse tamanho fazem sentido para um tubo de ). - Dado:
(aqui foi fornecida a massa específica da água). - Tubulação horizontal (mesma cota), e as duas seções têm o mesmo diâmetro.
O que se pede: a distânciaentre as duas seções, isto é, o comprimento do trecho do conduto que provoca a perda de carga observada.
Passo 2
Converter a pressão dada em
para carga de pressão (em metros de coluna de água).
- Primeiro converter pressão para pascal:
e . Logo
- Então
- A carga de pressão (altura de coluna de água) correspondente é
. Usando e ,
Passo 3
Calcular a perda de carga entre as seções usando as cargas de pressão fornecidas.
- A carga de pressão a montante é dada:
. - A carga de pressão a jusante (calculada) é
. - Como o tubo é horizontal e tem mesmo diâmetro, as alturas geométricas e as cargas cinemáticas são iguais nas duas seções (velocidades iguais), portanto a diferença de carga é a perda de carga por atrito
:
Passo 4
Relacionar a perda de carga com o comprimento usando a fórmula de Darcy–Weisbach e isolar
.
- A fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga por atrito é
onde:
-
é a perda de carga (m); -
é o fator de atrito de Darcy (adimensional); -
é o comprimento (m) que queremos achar; -
é o diâmetro ( ); -
é a velocidade média do escoamento (m/s); -
é a gravidade ( ). - Rearranjando para
:
Para usar essa fórmula precisamos de
e do fator
.
Passo 5
Calcular a velocidade média
a partir da vazão
.
- Área da seção:
- Velocidade:
Passo 6
Estimar o fator de atrito
. Vou explicar bem por que e como faço essa escolha.
- O escoamento será turbulento (velocidade relativamente alta). Definimos o número de Reynolds
Tomando a viscosidade cinemática da água
,
ou seja, totalmente turbulento.
- Para um conduto plástico (PVC/PE) com superfície lisa, a rugosidade absoluta típica é da ordem de
. Assim a rugosidade relativa é
muito pequena (quase fluxo suave).
- Usamos uma fórmula explícita razoável para
em regime turbulento (Swamee–Jain), que dá boa aproximação sem precisar iterar:
- Substituindo
e obtém-se (fazer contas): -
. -
. - Soma interior
. -
. - Portanto
-
- Comentário didático rápido: o valor de
é pequeno porque o tubo é liso e o escoamento tem Reynolds alto; isso dá perdas relativamente baixas por metro.
Passo 7
Substituir tudo na expressão para
e calcular.
- Relembrando os valores:
-
, -
, -
, -
, -
.
-
- Calcular numerador:
- Calcular denominador:
- Resultado:
Passo 8
Resumo interpretativo e verificação rápida:
- A perda de carga entre as seções é pequena (
), e como o escoamento é relativamente rápido em um tubo pequeno, o comprimento necessário para produzir essa perda por atrito é da ordem de poucos metros. - As principais fontes de incerteza aqui são:
- a interpretação de
como (se fosse outro valor a resposta muda); - a rugosidade adotada para o plástico (valor típico usado para PVC novo). Mesmo variando um pouco
, o resultado fica na mesma ordem de grandeza.
- a interpretação de