06 - A altura da pressão no centro de certa seção de um conduto plástico com 100 mm de diâmetro é de 15,25 \mathrm{~m}. No centro de outra seção localizada a jusante, a pressão vale 1,4 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}. Se a vazão for de 61 / \mathrm{s}, qual a distância entre essas seções? Considerar uma tubulação horizontal e \gamma \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

Entender o que o enunciado dá e pede, listando tudo com clareza:
  • Diâmetro da tubulação: D=100\\ \text{mm}=0,1\\ \text{m}.
  • Em uma seção a montante a “altura da pressão” (ou carga de pressão) no centro é \,15,25\\ \text{m}\, (ou seja, a carga hidráulica de pressão nessa seção é 15,25\\ \text{m}).
  • Em outra seção a jusante a pressão no centro é 1,4\\ \text{kgf}/\text{cm}^2.
  • Vazão: o enunciado escreveu 61/\text{s}. Interpreto isso como 61\\ \text{L/s}, que é Q=61\\ \text{L/s}=0,061\\ \text{m}^3/\text{s} (fluxos desse tamanho fazem sentido para um tubo de 100\\ \text{mm}).
  • Dado: \gamma_{\text{H}_2\text{O}}=1000\\ \text{kg}/\text{m}^3 (aqui foi fornecida a massa específica \rho da água).
  • Tubulação horizontal (mesma cota), e as duas seções têm o mesmo diâmetro.
    O que se pede: a distância L entre as duas seções, isto é, o comprimento do trecho do conduto que provoca a perda de carga observada.

Passo 2

Converter a pressão dada em \,1,4\\ \text{kgf}/\text{cm}^2 para carga de pressão (em metros de coluna de água).
  • Primeiro converter pressão para pascal: 1\\ \text{kgf}=9,80665\\ \text{N} e 1\\ \text{cm}^2=10^{-4}\\ \text{m}^2. Logo
1\\ \text{kgf}/\text{cm}^2 = \dfrac{9,80665}{10^{-4}}\\ \text{Pa} = 98\,066{,}5\\ \text{Pa}.
  • Então 1{,}4\\ \text{kgf}/\text{cm}^2 = 1{,}4\cdot98\,066{,}5\\ \text{Pa} = 137\,293{,}1\\ \text{Pa}.
  • A carga de pressão (altura de coluna de água) correspondente é \,h_p=\dfrac{p}{\rho g}. Usando \rho=1000\\ \text{kg}/\text{m}^3 e g=9{,}81\\ \text{m}/\text{s}^2,
h_{2}=\dfrac{137\,293{,}1}{1000\cdot9{,}81}\\ \text{m}=13{,}9958\\ \text{m}\approx14{,}00\\ \text{m}.

Passo 3

Calcular a perda de carga entre as seções usando as cargas de pressão fornecidas.
  • A carga de pressão a montante é dada: h_{1}=15{,}25\\ \text{m}.
  • A carga de pressão a jusante (calculada) é h_{2}\approx14{,}00\\ \text{m}.
  • Como o tubo é horizontal e tem mesmo diâmetro, as alturas geométricas e as cargas cinemáticas são iguais nas duas seções (velocidades iguais), portanto a diferença de carga é a perda de carga por atrito h_f:
h_f = h_{1}-h_{2}=15{,}25-13{,}9958=1{,}2542\\ \text{m}\approx1{,}25\\ \text{m}.

Passo 4

Relacionar a perda de carga com o comprimento usando a fórmula de Darcy–Weisbach e isolar L.
  • A fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga por atrito é
h_f = f\,\dfrac{L}{D}\,\dfrac{v^{2}}{2g},
onde:
  • h_f é a perda de carga (m);
  • f é o fator de atrito de Darcy (adimensional);
  • L é o comprimento (m) que queremos achar;
  • D é o diâmetro ( 0,1\\ \text{m});
  • v é a velocidade média do escoamento (m/s);
  • g é a gravidade ( 9{,}81\\ \text{m}/\text{s}^2).
  • Rearranjando para L:
L = \dfrac{h_f\,D\,2g}{f\,v^{2}}.
Para usar essa fórmula precisamos de v e do fator f.

Passo 5

Calcular a velocidade média v a partir da vazão Q.
  • Área da seção:
A=\dfrac{\pi D^{2}}{4}=\dfrac{\pi(0{,}1)^{2}}{4}=\pi\cdot0{,}0025=0{,}00785398\\ \text{m}^2.
  • Velocidade:
v=\dfrac{Q}{A}=\dfrac{0{,}061}{0{,}00785398}=7{,}7660\\ \text{m}/\text{s}.

Passo 6

Estimar o fator de atrito f. Vou explicar bem por que e como faço essa escolha.
  • O escoamento será turbulento (velocidade relativamente alta). Definimos o número de Reynolds
\mathrm{Re}=\dfrac{vD}{\nu}.
Tomando a viscosidade cinemática da água \nu\approx1{,}0\times10^{-6}\\ \text{m}^2/\text{s},
\mathrm{Re}=\dfrac{7{,}7660\cdot0{,}1}{1{,}0\times10^{-6}}=776\,600\approx7{,}77\times10^{5},
ou seja, totalmente turbulento.
  • Para um conduto plástico (PVC/PE) com superfície lisa, a rugosidade absoluta típica é da ordem de \varepsilon\approx1{,}5\times10^{-6}\\ \text{m}. Assim a rugosidade relativa é
\dfrac{\varepsilon}{D}=\dfrac{1{,}5\times10^{-6}}{0{,}1}=1{,}5\times10^{-5},
muito pequena (quase fluxo suave).
  • Usamos uma fórmula explícita razoável para f em regime turbulento (Swamee–Jain), que dá boa aproximação sem precisar iterar:
f=0{,}25\Bigg/\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{\varepsilon}{3{,}7D}+\dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{2}.
  • Substituindo \varepsilon/D=1{,}5\times10^{-5} e \mathrm{Re}=7{,}766\times10^{5} obtém-se (fazer contas):
    • \dfrac{\varepsilon}{3{,}7D}=4{,}054\times10^{-6}.
    • \dfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx2{,}876\times10^{-5}.
    • Soma interior \approx3{,}281\times10^{-5}.
    • \log_{10}(\cdot)\approx-4{,}4833.
    • Portanto
f\approx0{,}25/\big((-4{,}4833)^{2}\big)\approx0{,}01244.
  • Comentário didático rápido: o valor de f é pequeno porque o tubo é liso e o escoamento tem Reynolds alto; isso dá perdas relativamente baixas por metro.

Passo 7

Substituir tudo na expressão para L e calcular.
  • Relembrando os valores:
    • h_f=1{,}2542\\ \text{m},
    • D=0{,}1\\ \text{m},
    • g=9{,}81\\ \text{m}/\text{s}^2,
    • f\approx0{,}01244,
    • v=7{,}7660\\ \text{m}/\text{s}.
  • Calcular numerador:
h_f\,D\,2g = 1{,}2542\cdot0{,}1\cdot2\cdot9{,}81 = 2{,}4597\\ (\text{unidade: m}^2/\text{s}^2).
  • Calcular denominador:
f\,v^{2}=0{,}01244\cdot(7{,}7660)^{2}=0{,}01244\cdot60{,}313=0{,}7497.
  • Resultado:
L=\dfrac{2{,}4597}{0{,}7497}=3{,}2819\\ \text{m}\approx3{,}28\\ \text{m}.

Passo 8

Resumo interpretativo e verificação rápida:
  • A perda de carga entre as seções é pequena ( \approx1{,}25\\ \text{m}), e como o escoamento é relativamente rápido em um tubo pequeno, o comprimento necessário para produzir essa perda por atrito é da ordem de poucos metros.
  • As principais fontes de incerteza aqui são:
    • a interpretação de 61/\text{s} como 61\\ \text{L/s} (se fosse outro valor a resposta muda);
    • a rugosidade adotada para o plástico (valor típico usado para PVC novo). Mesmo variando um pouco \varepsilon, o resultado fica na mesma ordem de grandeza.

Resposta

L\approx3{,}28\\ \text{m}

Exercícios relacionados