5{ }^{\text {a }} Questão) Butanol ( \mathrm{C}_{4} \mathrm{H}_{10} \mathrm{O} ) (A) está difundindo através do ar (B) a 1 atm . Usando a equação de Fuller estime \mathrm{D}_{\mathrm{AB}} para uma temperatura de 0^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (tirei estes dados diretamente do texto que você enviou):
  • Espécie A: butanol, fórmula \mathrm{C}_{4}\mathrm{H}_{10}\mathrm{O}.
  • Espécie B: ar (aire) à pressão \,1\\ \text{atm}.
  • Temperatura: 0^\circ\mathrm{C}, ou seja T=273,15\\ \mathrm{K}.
  • O que pedir: estimar o coeficiente de difusão binária \,D_{AB}\, (butanol em ar) usando a equação de Fuller.

Passo 2

Apresentando a equação de Fuller e explicando cada termo (é nela que vamos aplicar tudo):
D_{AB} = 0,00143\;\frac{T^{1,75}}{P\left(\sqrt{M_A}+\sqrt{M_B}\right)\left(V_A^{1/3}+V_B^{1/3}\right)^2}.
O que significa cada símbolo e as unidades que usaremos:
  • D_{AB}: coeficiente de difusão binária, resultará em \mathrm{cm}^2\!/\mathrm{s} com esta forma da equação.
  • T: temperatura em kelvin ( \mathrm{K}).
  • P: pressão em atmosferas ( \mathrm{atm}).
  • M_A,\\ M_B: massas molares em \mathrm{g}\!/\!\mathrm{mol}.
  • V_A,\\ V_B: volumes de difusão (quantidades adimensionais) obtidos somando contribuições de grupos químicos segundo a tabela de Fuller.
  • A constante 0,00143 aqui é a escolhida para gerar D_{AB} em \mathrm{cm}^2\!/\mathrm{s} quando as demais grandezas estão nas unidades indicadas.

Passo 3

Calcular as massas molares M_A e M_B.
  • Para o butanol \mathrm{C}_4\mathrm{H}_{10}\mathrm{O}: M_A = 4\cdot 12{,}01 + 10\cdot 1{,}008 + 16{,}00 = 48{,}04 + 10{,}08 + 16{,}00 = 74{,}12\\ \mathrm{g}\!/\!\mathrm{mol}.
  • Para o ar (aproximação comum), use M_B = 28{,}96\\ \mathrm{g}\!/\!\mathrm{mol}.

Passo 4

Determinar os volumes de difusão V_A e V_B (usando as contribuições de grupos padrão da tabela de Fuller). Vou listar as contribuições que vou usar (valores padrão da tabela de Fuller):
  • contribuição de \mathrm{CH_3}: 14{,}88,
  • contribuição de \mathrm{CH_2}: 14{,}28,
  • contribuição de \mathrm{OH} (grupo hidroxila): 10{,}2,
  • volume de difusão para o ar (valor usado como referência): V_{\text{ar}}=20{,}1.
Agora somamos os grupos do butanol (cadeia linear: \mathrm{CH_3}-\mathrm{CH_2}-\mathrm{CH_2}-\mathrm{CH_2}-\mathrm{OH}):
V_A = 1\cdot( \mathrm{CH_3}) + 3\cdot( \mathrm{CH_2}) + 1\cdot(\mathrm{OH}) = 14{,}88 + 3\cdot14{,}28 + 10{,}2 = 67{,}92.
Para o ar usamos
V_B = V_{\text{ar}} = 20{,}1.

Passo 5

Agora calculamos cada termo necessário para inserir na equação de Fuller.
  1. Potência da temperatura:
T^{1,75} = 273{,}15^{1,75}\approx 1{,}8281\times10^{4}.
  1. Soma das raízes quadradas das massas molares:
\sqrt{M_A}+\sqrt{M_B}=\sqrt{74{,}12}+\sqrt{28{,}96}\approx 8{,}6089+5{,}3815=13{,}9904.
  1. Soma das raízes cúbicas dos volumes de difusão e seu quadrado:
V_A^{1/3}+V_B^{1/3}=67{,}92^{1/3}+20{,}1^{1/3}\approx 4{,}0779+2{,}7176=6{,}7955,
\bigl(V_A^{1/3}+V_B^{1/3}\bigr)^2 \approx 6{,}7955^2 = 46{,}1898.
  1. Denominador completo (com P=1\\ \mathrm{atm}):
P\left(\sqrt{M_A}+\sqrt{M_B}\right)\left(V_A^{1/3}+V_B^{1/3}\right)^2 =1\cdot 13{,}9904\cdot 46{,}1898 \approx 646{,}06.

Passo 6

Substituir tudo na equação de Fuller para obter D_{AB} em \mathrm{cm}^2\!/\mathrm{s}:
D_{AB}=0,00143\;\frac{T^{1,75}}{P\left(\sqrt{M_A}+\sqrt{M_B}\right)\left(V_A^{1/3}+V_B^{1/3}\right)^2} =0,00143\;\frac{1{,}8281\times10^{4}}{646{,}06}.
Calculemos o numerador:
0,00143\times 1{,}8281\times10^{4}\approx 26{,}146.
Agora a divisão:
D_{AB}\\ (\text{cm}^2\!/\text{s})\approx \frac{26{,}146}{646{,}06}\approx 0{,}04048\\ \mathrm{cm}^2\!/\mathrm{s}.
Converter para unidades do SI ( \mathrm{m}^2\!/\mathrm{s}): 1\\ \mathrm{cm}^2\!/\mathrm{s}=10^{-4}\\ \mathrm{m}^2\!/\mathrm{s}, logo
D_{AB}\approx 0{,}04048\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2\!/\mathrm{s}=4{,}05\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2\!/\mathrm{s}.

Passo 7

Interpretação rápida e nota prática: o valor obtido é uma estimativa baseada na fórmula empírica de Fuller e em contribuições de grupos padrão; a precisão típica dessa estimativa é razoável para ordens de grandeza (erros de talvez 10–30% dependendo da substância). Para uso em problemas de prova ou estimativas de engenharia, este valor é adequado.

Resposta

D_{AB}\approx 0{,}0405\\ \mathrm{cm}^2\!/\mathrm{s}
D_{AB}\approx 4{,}05\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2\!/\mathrm{s}

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