1{ }^{\text {a }} Questão) Deduza as expressões:
\mathrm{J}_{\mathrm{A}}+\mathrm{J}_{\mathrm{B}}=\mathrm{C}\left(\mathrm{v}^{*}-\mathrm{v}\right)

Passo 1

O enunciado pede que se deduza a expressão
\mathrm{J}_{\mathrm{A}}+\mathrm{J}_{\mathrm{B}}=\mathrm{C}\left(\mathrm{v}^{*}-\mathrm{v}\right).
Informações relevantes (o que vou usar / assumir para deduzir a relação):
  • \mathrm{J}_{\mathrm{A}} e \mathrm{J}_{\mathrm{B}} são impulsos produzidos por forças \mathrm{F}_{\mathrm{A}}(t) e \mathrm{F}_{\mathrm{B}}(t) que atuam sobre um corpo identificado por C.
  • O corpo C tem massa \mathrm{C} (a letra maiúscula \mathrm{C} representa a massa do corpo; se no seu problema essa massa tiver outro símbolo, basta trocar).
  • Antes da ação dessas forças a velocidade do corpo é \mathrm{v} e, após a ação, passa a ser \mathrm{v}^{*}.
  • O objetivo é mostrar que a soma dos impulsos iguala a variação de quantidade de movimento do corpo C, ou seja a massa vezes a variação de velocidade.

Passo 2

Definição de impulso (a parte conceitual que cai direto na prova):
  • O impulso associado a uma força \mathrm{F}(t) aplicada entre tempos t_0 e t_f é
\mathrm{J}=\int_{t_0}^{t_f}\mathrm{F}(t)\,dt.
Explanação simples: impulso é a área sob a curva força versus tempo; unidade \mathrm{N\cdot s} que equivale a \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 3

A segunda lei de Newton em forma útil para isso:
  • A força resultante sobre um corpo de massa \mathrm{C} é
\mathrm{F}(t)=\mathrm{C}\,\mathrm{a}(t),
onde \mathrm{a}(t) é a aceleração instantânea do corpo. Como aceleração é derivada da velocidade,
\mathrm{a}(t)=\frac{d\mathrm{v}}{dt}.
Aqui explico cada símbolo: \mathrm{F}(t) é força em função do tempo, \mathrm{C} é a massa (constante), \mathrm{v}=\mathrm{v}(t) é a velocidade.

Passo 4

Relacione impulso com variação de velocidade usando Newton:
  • Substituindo \mathrm{F}(t)=\mathrm{C}\,\dfrac{d\mathrm{v}}{dt} na definição do impulso,
\mathrm{J}=\int_{t_0}^{t_f}\mathrm{F}(t)\,dt=\int_{t_0}^{t_f}\mathrm{C}\,\frac{d\mathrm{v}}{dt}\,dt.
  • Como \mathrm{C} é constante, pode sair da integral:
\mathrm{J}=\mathrm{C}\int_{t_0}^{t_f}\frac{d\mathrm{v}}{dt}\,dt.

Passo 5

Integração direta para obter a variação de velocidade:
  • A integral de \dfrac{d\mathrm{v}}{dt} em t dá a variação de \mathrm{v} entre os instantes:
\mathrm{J}=\mathrm{C}\int_{t_0}^{t_f}\frac{d\mathrm{v}}{dt}\,dt=\mathrm{C}\int_{\mathrm{v}}^{\mathrm{v}^{*}}d\mathrm{v}=\mathrm{C}\left(\mathrm{v}^{*}-\mathrm{v}\right).
Explicação passo a passo: trocar a variável de integração de t para \mathrm{v} é válido porque \dfrac{d\mathrm{v}}{dt}\,dt=d\mathrm{v}; as limites em t correspondem às velocidades inicial \mathrm{v} e final \mathrm{v}^{*}.

Passo 6

Quando há duas forças (ou impulsos) atuando:
  • Os impulsos individuais são
\mathrm{J}_{\mathrm{A}}=\int_{t_0}^{t_f}\mathrm{F}_{\mathrm{A}}(t)\,dt,\qquad \mathrm{J}_{\mathrm{B}}=\int_{t_0}^{t_f}\mathrm{F}_{\mathrm{B}}(t)\,dt.
  • O impulso total é a soma dos dois:
\mathrm{J}_{\mathrm{A}}+\mathrm{J}_{\mathrm{B}}=\int_{t_0}^{t_f}\bigl(\mathrm{F}_{\mathrm{A}}(t)+\mathrm{F}_{\mathrm{B}}(t)\bigr)\,dt =\int_{t_0}^{t_f}\mathrm{F}_{\text{res}}(t)\,dt,
onde \mathrm{F}_{\text{res}} é a força resultante. Aplicando o resultado do passo anterior à força resultante (que é \mathrm{C}\,\dfrac{d\mathrm{v}}{dt}) obtemos
\mathrm{J}_{\mathrm{A}}+\mathrm{J}_{\mathrm{B}}=\mathrm{C}\left(\mathrm{v}^{*}-\mathrm{v}\right).

Passo 7

Interpretação prática e dica para prova:
  • Esse resultado é simplesmente o teorema do impulso-momento (ou impulso-quantidade de movimento): a soma dos impulsos aplicados a um corpo é igual à variação da sua quantidade de movimento \mathrm{C}\,\mathrm{v}.
  • Atenção ao sinal: se as forças tiverem direções opostas, seus impulsos podem ter sinais diferentes; sempre use a orientação positiva consistente (por exemplo, direção positiva do eixo x).
  • Exemplo rápido: se \mathrm{C}=2\\ \mathrm{kg}, \mathrm{v}=3\\ \mathrm{m/s} e \mathrm{v}^{*}=1\\ \mathrm{m/s}, então \mathrm{J}_{\mathrm{A}}+\mathrm{J}_{\mathrm{B}}=2\cdot(1-3)=-4\\ \mathrm{kg\cdot m/s} (impulso total aponta no sentido negativo).

Resposta

\mathrm{J}_{\mathrm{A}}+\mathrm{J}_{\mathrm{B}}=\mathrm{C}\left(\mathrm{v}^{*}-\mathrm{v}\right)

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