Questão) Deduza as expressões:
Passo 1
O enunciado pede que se deduza a expressão
.
Informações relevantes (o que vou usar / assumir para deduzir a relação):
-
e são impulsos produzidos por forças e que atuam sobre um corpo identificado por . - O corpo
tem massa (a letra maiúscula representa a massa do corpo; se no seu problema essa massa tiver outro símbolo, basta trocar). - Antes da ação dessas forças a velocidade do corpo é
e, após a ação, passa a ser . - O objetivo é mostrar que a soma dos impulsos iguala a variação de quantidade de movimento do corpo
, ou seja a massa vezes a variação de velocidade.
Passo 2
Definição de impulso (a parte conceitual que cai direto na prova):
- O impulso associado a uma força
aplicada entre tempos e é
Explanação simples: impulso é a área sob a curva força versus tempo; unidade
que equivale a
.
Passo 3
A segunda lei de Newton em forma útil para isso:
- A força resultante sobre um corpo de massa
é
onde
é a aceleração instantânea do corpo. Como aceleração é derivada da velocidade,
Aqui explico cada símbolo:
é força em função do tempo,
é a massa (constante),
é a velocidade.
Passo 4
Relacione impulso com variação de velocidade usando Newton:
- Substituindo
na definição do impulso,
- Como
é constante, pode sair da integral:
Passo 5
Integração direta para obter a variação de velocidade:
- A integral de
em dá a variação de entre os instantes:
Explicação passo a passo: trocar a variável de integração de
para
é válido porque
; as limites em
correspondem às velocidades inicial
e final
.
Passo 6
Quando há duas forças (ou impulsos) atuando:
- Os impulsos individuais são
- O impulso total é a soma dos dois:
onde
é a força resultante. Aplicando o resultado do passo anterior à força resultante (que é
) obtemos
Passo 7
Interpretação prática e dica para prova:
- Esse resultado é simplesmente o teorema do impulso-momento (ou impulso-quantidade de movimento): a soma dos impulsos aplicados a um corpo é igual à variação da sua quantidade de movimento
. - Atenção ao sinal: se as forças tiverem direções opostas, seus impulsos podem ter sinais diferentes; sempre use a orientação positiva consistente (por exemplo, direção positiva do eixo
). - Exemplo rápido: se
, e , então (impulso total aponta no sentido negativo).