06 Explique por que dois processos diferentes que ligam os mesmos estados podem ter trabalhos diferentes, mas a mesma variação de energia interna.

Passo 1

O enunciado pede uma explicação: por que dois processos diferentes que ligam os mesmos estados podem ter trabalhos diferentes, mas a mesma variação de energia interna.
Informações relevantes (dadas implicitamente pelo enunciado):
  • Os dois processos partem do mesmo estado inicial e chegam ao mesmo estado final.
  • Quer-se explicar a razão física/matemática pela qual W (trabalho) pode ser diferente nos dois processos enquanto \Delta U (variação da energia interna) é a mesma.

Passo 2

Apresentar a lei e a convenção de sinais (fórmula que vamos usar). A primeira lei da termodinâmica, numa convenção comum (trabalho W é o trabalho realizado pelo sistema), é
\Delta U = Q - W,
onde:
  • \Delta U é a variação da energia interna do sistema (energia interna final menos inicial),
  • Q é o calor recebido pelo sistema (positivo se entra calor no sistema),
  • W é o trabalho realizado pelo sistema (positivo se o sistema realiza trabalho sobre o entorno).
    Expliquei cada símbolo para não restarem dúvidas sobre convenções.

Passo 3

Definir o que é função de estado e função de caminho, e ligar isso à pergunta.
  • Uma função de estado é uma grandeza cujo valor depende apenas do estado termodinâmico atual do sistema (p. ex. pressão, volume, temperatura) e não do caminho seguido para chegar a esse estado. A energia interna U é uma função de estado. Logo, \Delta U depende somente dos estados inicial e final: se os estados inicial e final são os mesmos para dois processos, então \Delta U será o mesmo para ambos.
  • Uma função de caminho (ou dependente do caminho) é uma grandeza cujo valor acumulado depende da trajetória seguida no espaço das variáveis de estado. O trabalho W é desse tipo: para um processo quasiestático unidimensional, o trabalho realizado pelo gás é
W=\int_{V_i}^{V_f} P(V)\,dV,
onde P(V) é a pressão durante o processo vista como função de V. Se a curva P(V) for diferente para dois processos que ligam os mesmos (V_i,P_i) e (V_f,P_f), os valores de W serão diferentes porque a integral depende da forma dessa curva (geometricamente: W é a área sob a curva P versus V).

Passo 4

Juntando as ideias com a primeira lei.
Pela primeira lei, \Delta U = Q - W. Se \Delta U é fixo (porque os estados inicial e final são fixos), então Q e W só podem variar entre si de modo a manter \Delta U constante. Em outras palavras: se um processo entrega mais trabalho W que outro, o calor Q trocado nesse processo será diferente de modo que a diferença Q-W permaneça igual a \Delta U. Isso explica algebraicamente por que trabalhos diferentes são compatíveis com a mesma \Delta U.

Passo 5

Exemplo numérico e cálculo passo a passo (para fixar a ideia). Considere n=1 mol de um gás ideal e dois processos que ligam o mesmo estado inicial (P_1,V_1) ao mesmo estado final (P_2,V_2) tal que a temperatura inicial e final são iguais (processo efetivamente isoterma entre estados): take T=300\\ \text{K}, V_1=1{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}^3, V_2=2{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}^3. Para o gás ideal vale P V = n R T; então
nRT = P_1 V_1 = P_2 V_2.
Calcule nRT:
nRT = 1\times 8{,}314\times 300 = 2\,494{,}2\\ \text{J}.
Processo A (isotérmico reversível direto): o trabalho realizado pelo gás é
W_A = n R T \ln\!\left(\frac{V_2}{V_1}\right).
Substituindo:
W_A = 2\,494{,}2 \ln 2 \approx 2\,494{,}2\times 0{,}6931 \approx 1\,729\\ \text{J}.
Processo B (caminho em dois passos): primeiro expansão isobárica à pressão P_1 de V_1 até V_2, depois resfriamento isocórico (em V_2) até a pressão P_2. O trabalho do segundo passo é zero (isochórico). O trabalho total é só o da expansão isobárica:
W_B = P_1 (V_2-V_1).
Mas P_1 = \dfrac{nRT}{V_1} = \dfrac{2\,494{,}2}{0{,}001} = 2{,}494{,}200\\ \text{Pa}. Logo
W_B = 2{,}494{,}200\times(0{,}002-0{,}001)=2{,}494{,}2\\ \text{J}.
Comparando:
W_A \approx 1\,729\\ \text{J},\qquad W_B \approx 2\,494{,}2\\ \text{J},
ou seja, W_A\neq W_B. Entretanto, como os estados inicial e final têm a mesma temperatura, para um gás ideal \Delta U = n C_V \Delta T = 0 em ambos os processos. Assim \Delta U é igual para os dois processos (zero neste exemplo), mesmo com trabalhos diferentes; o calor trocado Q difere entre os processos de modo que Q-W=0 seja satisfeito em cada caso ( Q_A=W_A, Q_B=W_B).

Passo 6

Interpretação geométrica e observações finais práticas para a prova.
  • Geometricamente: no diagrama P versus V, W é a área abaixo da curva do processo; caminhos diferentes têm áreas diferentes mesmo que os pontos inicial e final coincidam.
  • Conceitualmente: energia interna é propriedade do estado (função de estado) → \Delta U só depende de estados; trabalho e calor não são propriedades do estado (são funções de caminho) → seus valores dependem do percurso.
  • Em provas: ao justificar, cite a primeira lei e a diferença entre função de estado e função de caminho; se pedirem, mostre um exemplo numérico simples como o acima.

Resposta

Porque a energia interna U é uma função de estado — logo \Delta U depende somente dos estados inicial e final e é igual para qualquer processo que os ligue — enquanto o trabalho W é uma função de caminho (para processos quasiestáticos W=\int_{V_i}^{V_f}P(V)\,dV), cujo valor depende da trajetória no diagrama P- V; assim dois caminhos diferentes entre os mesmos estados podem ter áreas (trabalhos) diferentes, mantendo a mesma \Delta U pela primeira lei \Delta U=Q-W.

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