06 Explique por que dois processos diferentes que ligam os mesmos estados podem ter trabalhos diferentes, mas a mesma variação de energia interna.
Passo 1
O enunciado pede uma explicação: por que dois processos diferentes que ligam os mesmos estados podem ter trabalhos diferentes, mas a mesma variação de energia interna.
Informações relevantes (dadas implicitamente pelo enunciado):
Informações relevantes (dadas implicitamente pelo enunciado):
- Os dois processos partem do mesmo estado inicial e chegam ao mesmo estado final.
- Quer-se explicar a razão física/matemática pela qual
(trabalho) pode ser diferente nos dois processos enquanto (variação da energia interna) é a mesma.
Passo 2
Apresentar a lei e a convenção de sinais (fórmula que vamos usar). A primeira lei da termodinâmica, numa convenção comum (trabalho
é o trabalho realizado pelo sistema), é
onde:
-
é a variação da energia interna do sistema (energia interna final menos inicial), -
é o calor recebido pelo sistema (positivo se entra calor no sistema), -
é o trabalho realizado pelo sistema (positivo se o sistema realiza trabalho sobre o entorno).
Expliquei cada símbolo para não restarem dúvidas sobre convenções.
Passo 3
Definir o que é função de estado e função de caminho, e ligar isso à pergunta.
- Uma função de estado é uma grandeza cujo valor depende apenas do estado termodinâmico atual do sistema (p. ex. pressão, volume, temperatura) e não do caminho seguido para chegar a esse estado. A energia interna
é uma função de estado. Logo, depende somente dos estados inicial e final: se os estados inicial e final são os mesmos para dois processos, então será o mesmo para ambos. - Uma função de caminho (ou dependente do caminho) é uma grandeza cujo valor acumulado depende da trajetória seguida no espaço das variáveis de estado. O trabalho
é desse tipo: para um processo quasiestático unidimensional, o trabalho realizado pelo gás é
onde
é a pressão durante o processo vista como função de
. Se a curva
for diferente para dois processos que ligam os mesmos
e
, os valores de
serão diferentes porque a integral depende da forma dessa curva (geometricamente:
é a área sob a curva
versus
).
Passo 4
Juntando as ideias com a primeira lei.
Pela primeira lei, . Se
é fixo (porque os estados inicial e final são fixos), então
e
só podem variar entre si de modo a manter
constante. Em outras palavras: se um processo entrega mais trabalho
que outro, o calor
trocado nesse processo será diferente de modo que a diferença
permaneça igual a
. Isso explica algebraicamente por que trabalhos diferentes são compatíveis com a mesma
.
Pela primeira lei,
Passo 5
Exemplo numérico e cálculo passo a passo (para fixar a ideia). Considere
mol de um gás ideal e dois processos que ligam o mesmo estado inicial
ao mesmo estado final
tal que a temperatura inicial e final são iguais (processo efetivamente isoterma entre estados): take
,
,
. Para o gás ideal vale
; então
Calcule
:
Processo A (isotérmico reversível direto): o trabalho realizado pelo gás é
Substituindo:
Processo B (caminho em dois passos): primeiro expansão isobárica à pressão
de
até
, depois resfriamento isocórico (em
) até a pressão
. O trabalho do segundo passo é zero (isochórico). O trabalho total é só o da expansão isobárica:
Mas
. Logo
Comparando:
ou seja,
. Entretanto, como os estados inicial e final têm a mesma temperatura, para um gás ideal
em ambos os processos. Assim
é igual para os dois processos (zero neste exemplo), mesmo com trabalhos diferentes; o calor trocado
difere entre os processos de modo que
seja satisfeito em cada caso (
,
).
Passo 6
Interpretação geométrica e observações finais práticas para a prova.
- Geometricamente: no diagrama
versus , é a área abaixo da curva do processo; caminhos diferentes têm áreas diferentes mesmo que os pontos inicial e final coincidam. - Conceitualmente: energia interna é propriedade do estado (função de estado) →
só depende de estados; trabalho e calor não são propriedades do estado (são funções de caminho) → seus valores dependem do percurso. - Em provas: ao justificar, cite a primeira lei e a diferença entre função de estado e função de caminho; se pedirem, mostre um exemplo numérico simples como o acima.
Resposta
Porque a energia interna
é uma função de estado — logo
depende somente dos estados inicial e final e é igual para qualquer processo que os ligue — enquanto o trabalho
é uma função de caminho (para processos quasiestáticos
), cujo valor depende da trajetória no diagrama
-
; assim dois caminhos diferentes entre os mesmos estados podem ter áreas (trabalhos) diferentes, mantendo a mesma
pela primeira lei
.