07- Resolva o sistema abaixo:
\left\{\begin{array}{l} 3 x^{2}-y=5 \\\ y-6 x=4 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de duas equações com duas incógnitas x e y:
\left\{\begin{array}{l} 3x^{2}-y=5,\\[4pt] y-6x=4. \end{array}\right.
O que é pedido: encontrar todos os pares ordenados (x,y) que satisfazem simultaneamente as duas equações (ou seja, todas as soluções do sistema).
Informações relevantes fornecidas:
  • A primeira equação relaciona x e y de forma quadrática: 3x^{2}-y=5.
  • A segunda é uma equação linear em x e y: y-6x=4.]

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada passo a passo, bem mastigada):
  • Usar o método da substituição: isolar uma variável numa das equações (aqui é fácil isolar y na segunda) e substituir na outra equação. Isso transforma o sistema numa única equação em uma variável (aqui ficará uma equação quadrática em x).
  • Depois resolver a equação quadrática (aqui por fatoração, se possível). Se não fosse fatorável facilmente, poder-se-ia usar a fórmula de Bhaskara.
    Breve explicação do porquê: substituir retira uma incógnita do sistema, ficando uma equação só em x. Isso simplifica porque equações quadráticas em uma variável são rotineiras de resolver.

Passo 3

Isolar y na segunda equação e substituir na primeira.
Da segunda equação:
y-6x=4 \quad\Rightarrow\quad y=6x+4.
Substituindo esse y na primeira equação:
3x^{2}-y=5 \quad\Rightarrow\quad 3x^{2}-(6x+4)=5.
Agora simplificamos passo a passo:
3x^{2}-6x-4=5.
Passamos o 5 para o lado esquerdo:
3x^{2}-6x-4-5=0.
3x^{2}-6x-9=0.

Passo 4

Simplificar a equação dividindo por 3 (todas as parcelas são múltiplas de 3):
x^{2}-2x-3=0.
Agora resolvemos essa quadrática por fatoração. Procuramos dois números que multiplicam para -3 e somam para -2. Esses números são -3 e +1 porque
(-3)\cdot 1=-3,\qquad (-3)+1=-2.
Logo a fatoração é
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1).
Então as raízes são dadas pelas soluções de cada fator igual a zero:
x-3=0 \Rightarrow x=3,\qquad x+1=0 \Rightarrow x=-1.
(Comentário rápido sobre fatoração: quando a quadrática tem coeficiente principal 1, verificar fatores do termo constante que somem ao coeficiente de x é uma técnica rápida. Se o coeficiente principal não fosse 1, poderia ser necessário a técnica AC ou a fórmula de Bhaskara.)

Passo 5

Encontrar y correspondente a cada valor de x usando y=6x+4.
Para x=3:
y=6\cdot 3+4=18+4=22.
Para x=-1:
y=6\cdot(-1)+4=-6+4=-2.
Portanto obtemos dois candidatos a solução: (x,y)=(3,22) e (x,y)=(-1,-2).

Passo 6

Verificação rápida: substituir cada par nas equações originais para conferir.
Verificando (3,22):
  • Primeira equação: 3x^{2}-y=3\cdot 3^{2}-22=3\cdot9-22=27-22=5 (ok).
  • Segunda equação: y-6x=22-6\cdot3=22-18=4 (ok).
Verificando (-1,-2):
  • Primeira equação: 3x^{2}-y=3\cdot(-1)^{2}-(-2)=3\cdot1+2=3+2=5 (ok).
  • Segunda equação: y-6x=-2-6\cdot(-1)=-2+6=4 (ok).
Ambos os pares satisfazem as duas equações, então são soluções válidas.

Passo 7

Resumo final: o sistema tem duas soluções reais, que são os pares ordenados encontrados.

Resposta

(3,22)
(-1,-2)

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