07- Resolva o sistema abaixo:
Passo 1
O enunciado dá o sistema de duas equações com duas incógnitas
e
:
O que é pedido: encontrar todos os pares ordenados
que satisfazem simultaneamente as duas equações (ou seja, todas as soluções do sistema).
Informações relevantes fornecidas:
- A primeira equação relaciona
e de forma quadrática: . - A segunda é uma equação linear em
e : .]
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada passo a passo, bem mastigada):
- Usar o método da substituição: isolar uma variável numa das equações (aqui é fácil isolar
na segunda) e substituir na outra equação. Isso transforma o sistema numa única equação em uma variável (aqui ficará uma equação quadrática em ). - Depois resolver a equação quadrática (aqui por fatoração, se possível). Se não fosse fatorável facilmente, poder-se-ia usar a fórmula de Bhaskara.
Breve explicação do porquê: substituir retira uma incógnita do sistema, ficando uma equação só em. Isso simplifica porque equações quadráticas em uma variável são rotineiras de resolver.
Passo 3
Isolar
na segunda equação e substituir na primeira.
Da segunda equação:
Da segunda equação:
Substituindo esse
na primeira equação:
Agora simplificamos passo a passo:
Passamos o
para o lado esquerdo:
Passo 4
Simplificar a equação dividindo por
(todas as parcelas são múltiplas de
):
Agora resolvemos essa quadrática por fatoração. Procuramos dois números que multiplicam para
e somam para
. Esses números são
e
porque
Logo a fatoração é
Então as raízes são dadas pelas soluções de cada fator igual a zero:
(Comentário rápido sobre fatoração: quando a quadrática tem coeficiente principal
, verificar fatores do termo constante que somem ao coeficiente de
é uma técnica rápida. Se o coeficiente principal não fosse
, poderia ser necessário a técnica AC ou a fórmula de Bhaskara.)
Passo 5
Encontrar
correspondente a cada valor de
usando
.
Para
:
Para
:
Portanto obtemos dois candidatos a solução:
e
.
Passo 6
Verificação rápida: substituir cada par nas equações originais para conferir.
Verificando
:
- Primeira equação:
(ok). - Segunda equação:
(ok).
Verificando
:
- Primeira equação:
(ok). - Segunda equação:
(ok).
Ambos os pares satisfazem as duas equações, então são soluções válidas.
Passo 7
Resumo final: o sistema tem duas soluções reais, que são os pares ordenados encontrados.