08-(utfpr 2011) Se a e b são raízes da equação do segundo grau
x^{2}+1=\frac{5}{2} x
, então a e b pertencem a qual intervalo?

Passo 1

O enunciado dá a equação do segundo grau
x^{2}+1=\frac{5}{2}x
e diz que a e b são as raízes dessa equação. A pergunta é: a e b pertencem a qual intervalo?
Informações relevantes que temos:
  • A equação fornecida é \,x^{2}+1=\dfrac{5}{2}x.
  • As incógnitas pedidas são as raízes a e b dessa equação.
  • Precisamos encontrar onde (em que intervalo) essas raízes estão.

Passo 2

Primeiro passo técnico: passar a equação para a forma padrão de uma quadrática ax^{2}+bx+c=0. Subtraindo \dfrac{5}{2}x dos dois lados obtemos
x^{2}-\frac{5}{2}x+1=0.
Aqui, comparando com ax^{2}+bx+c=0, temos:
a=1,\qquad b=-\frac{5}{2},\qquad c=1.

Passo 3

Vou usar a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara) para encontrar as raízes. A fórmula diz que, para ax^{2}+bx+c=0,
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde o discriminante \Delta é
\Delta=b^{2}-4ac.
Explicando: a, b, c são os coeficientes da equação; \Delta indica se as raízes são reais ( \Delta\ge0) ou complexas ( \Delta<0). Se \Delta\ge0 então \sqrt{\Delta} é um número real e podemos calcular as duas soluções usando o sinal + e o sinal -.

Passo 4

Calcular o discriminante com os valores que encontramos:
\Delta=\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}-4\cdot1\cdot1=\frac{25}{4}-4=\frac{25}{4}-\frac{16}{4}=\frac{9}{4}.
Como \Delta=\dfrac{9}{4}\ge0, as raízes são reais. A raiz quadrada do discriminante é
\sqrt{\Delta}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-\left(-\frac{5}{2}\right)\pm\frac{3}{2}}{2}=\frac{\frac{5}{2}\pm\frac{3}{2}}{2}.
Vamos calcular as duas possibilidades separadamente.
Para o sinal +:
x_{1}=\frac{\frac{5}{2}+\frac{3}{2}}{2}=\frac{\frac{8}{2}}{2}=\frac{4}{2}=2.
Para o sinal -:
x_{2}=\frac{\frac{5}{2}-\frac{3}{2}}{2}=\frac{\frac{2}{2}}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1}=\frac{1}{2}.
Portanto as raízes são \dfrac{1}{2} e 2. (Observação rápida e útil: o produto das raízes é c/a=1, então realmente as raízes são recíprocas, o que confirma a forma encontrada.)

Passo 6

Concluindo: as duas raízes valem \dfrac{1}{2} e 2. Assim ambas pertencem ao intervalo que vai de \dfrac{1}{2} até 2, incluindo as extremidades. Em notação de intervalo fechado:
\left[\frac{1}{2},2\right].

Resposta

\left[\dfrac{1}{2},2\right]

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