08-(utfpr 2011) Se a e b são raízes da equação do segundo grau
, então a e b pertencem a qual intervalo?
Passo 1
O enunciado dá a equação do segundo grau
e diz que
e
são as raízes dessa equação. A pergunta é: a e b pertencem a qual intervalo?
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A equação fornecida é
. - As incógnitas pedidas são as raízes
e dessa equação. - Precisamos encontrar onde (em que intervalo) essas raízes estão.
Passo 2
Primeiro passo técnico: passar a equação para a forma padrão de uma quadrática
. Subtraindo
dos dois lados obtemos
Aqui, comparando com
, temos:
Passo 3
Vou usar a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara) para encontrar as raízes. A fórmula diz que, para
,
onde o discriminante
é
Explicando:
,
,
são os coeficientes da equação;
indica se as raízes são reais (
) ou complexas (
). Se
então
é um número real e podemos calcular as duas soluções usando o sinal
e o sinal
.
Passo 4
Calcular o discriminante com os valores que encontramos:
Como
, as raízes são reais. A raiz quadrada do discriminante é
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula:
Vamos calcular as duas possibilidades separadamente.
Para o sinal
:
Para o sinal
:
Portanto as raízes são
e
. (Observação rápida e útil: o produto das raízes é
, então realmente as raízes são recíprocas, o que confirma a forma encontrada.)
Passo 6
Concluindo: as duas raízes valem
e
. Assim ambas pertencem ao intervalo que vai de
até
, incluindo as extremidades. Em notação de intervalo fechado: