09 OBF 2001 A equação horária para a posição angular
(em radianos) em função do tempo
(em segundos) de uma partícula que executa um movimento circular, de raio igual a 1 m , é dada por:
No instante
, calcule:
(b) o módulo da aceleração tangencial da partícula.
(b) o módulo da aceleração tangencial da partícula.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A posição angular está dada por
(em radianos). - O raio da trajetória circular é
. - O instante em que queremos calcular é
.
A pergunta (parte (b)) é:
- Calcular o módulo da aceleração tangencial da partícula no instante
.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
- A velocidade angular
é a derivada temporal de : . Isso mede quão rápido o ângulo muda, em . - A aceleração angular
é a segunda derivada temporal de : . Unidade: . - A aceleração tangencial
(a componente da aceleração que muda a rapidez tangencial) está relacionada à aceleração angular por
onde:
-
é a aceleração tangencial em , -
é o raio da trajetória em , -
é a aceleração angular em .
Observação importante sobre unidades: como
tem unidades de
e radiano é adimensional, a multiplicação
dá
, que é correto para uma aceleração.
Passo 3
Calcular as derivadas de
. A função dada é
Derivando em relação a
:
- A derivada de uma constante é zero:
. - A derivada de
é . - A derivada de
é (regra do polinômio: ).
Logo, a velocidade angular é
Derivando
para obter
:
Observação:
resultou em uma constante igual a
.
Passo 4
Avaliar
no instante pedido
:
(O valor é independente de
porque
é constante aqui.)
Passo 5
Calcular a aceleração tangencial usando
. Com
e
,
Como a pergunta pede o módulo, usamos o valor positivo; aqui
já é positivo, então o módulo é
.
Passo 6
Checagem alternativa (mesma ideia, só para fixar):
- A rapidez tangencial é
. Como e , tem-se . - A aceleração tangencial é
.
Mesma resposta, fica mais claro queé a derivada temporal da rapidez tangencial.
Passo 7
Resumo rápido e incentivo: o procedimento padrão em provas é diferenciar
duas vezes para obter
e multiplicar por
. Você já viu isso aqui passo a passo — na prova, siga essas mesmas etapas e confere unidades. Vai dar certo!