09 OBF 2001 A equação horária para a posição angular \theta (em radianos) em função do tempo t (em segundos) de uma partícula que executa um movimento circular, de raio igual a 1 m , é dada por:
\theta=1-2 t+t^{2} .
No instante t=1 \mathrm{~s}, calcule:
(b) o módulo da aceleração tangencial da partícula.
a_{t}=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A posição angular está dada por \theta(t)=1-2t+t^{2} (em radianos).
  • O raio da trajetória circular é r=1\\ \mathrm{m}.
  • O instante em que queremos calcular é t=1\\ \mathrm{s}.
A pergunta (parte (b)) é:
  • Calcular o módulo da aceleração tangencial da partícula no instante t=1\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
  • A velocidade angular \omega(t) é a derivada temporal de \theta(t): \omega(t)=\dfrac{d\theta}{dt}. Isso mede quão rápido o ângulo muda, em \mathrm{rad/s}.
  • A aceleração angular \alpha(t) é a segunda derivada temporal de \theta(t): \alpha(t)=\dfrac{d^{2}\theta}{dt^{2}}=\dfrac{d\omega}{dt}. Unidade: \mathrm{rad/s^{2}}.
  • A aceleração tangencial a_{t} (a componente da aceleração que muda a rapidez tangencial) está relacionada à aceleração angular por
a_{t}=r\,\alpha,
onde:
  • a_{t} é a aceleração tangencial em \mathrm{m/s^{2}},
  • r é o raio da trajetória em \mathrm{m},
  • \alpha é a aceleração angular em \mathrm{rad/s^{2}}.
Observação importante sobre unidades: como \alpha tem unidades de \mathrm{rad/s^{2}} e radiano é adimensional, a multiplicação r\alpha \mathrm{m/s^{2}}, que é correto para uma aceleração.

Passo 3

Calcular as derivadas de \theta(t). A função dada é
\theta(t)=1-2t+t^{2}.
Derivando em relação a t:
  • A derivada de uma constante é zero: \dfrac{d}{dt}(1)=0.
  • A derivada de -2t é -2.
  • A derivada de t^{2} é 2t (regra do polinômio: \dfrac{d}{dt}t^{n}=n t^{n-1}).
Logo, a velocidade angular é
\omega(t)=\dfrac{d\theta}{dt}=-2+2t.
Derivando \omega(t) para obter \alpha(t):
\alpha(t)=\dfrac{d\omega}{dt}=\dfrac{d}{dt}(-2+2t)=2.
Observação: \alpha(t) resultou em uma constante igual a 2\\ \mathrm{rad/s^{2}}.

Passo 4

Avaliar \alpha(t) no instante pedido t=1\\ \mathrm{s}:
\alpha(1)=2\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
(O valor é independente de t porque \alpha é constante aqui.)

Passo 5

Calcular a aceleração tangencial usando a_{t}=r\,\alpha. Com r=1\\ \mathrm{m} e \alpha(1)=2\\ \mathrm{rad/s^{2}},
a_{t}=1\cdot 2=2\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Como a pergunta pede o módulo, usamos o valor positivo; aqui \alpha já é positivo, então o módulo é 2\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Checagem alternativa (mesma ideia, só para fixar):
  • A rapidez tangencial é v(t)=r\,\omega(t). Como \omega(t)=-2+2t e r=1, tem-se v(t)=-2+2t.
  • A aceleração tangencial é a_{t}=\dfrac{dv}{dt}= \dfrac{d}{dt}(-2+2t)=2.
    Mesma resposta, fica mais claro que a_{t} é a derivada temporal da rapidez tangencial.

Passo 7

Resumo rápido e incentivo: o procedimento padrão em provas é diferenciar \theta(t) duas vezes para obter \alpha e multiplicar por r. Você já viu isso aqui passo a passo — na prova, siga essas mesmas etapas e confere unidades. Vai dar certo!

Resposta

a_{t}=2\\ \mathrm{m/s^{2}}

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