07 EsPCEx 2022/2023 Uma canoa amarrada ao ponto P, em um rio, solta-se e é levada pela correnteza das águas. A correnteza tem uma velocidade paralela e módulo constante igual a V_{R}, em relação à margem do rio. Após um intervalo de tempo igual a \Delta t, o dono da canoa parte do ponto P ao seu encalço com uma lancha que se desloca com uma velocidade paralela e de módulo constante igual a V_{L}, em relação à correnteza. Quando ele alcança a canoa, imediatamente a prende e inverte o sentido do movimento da lancha para retornar ao ponto P também com uma velocidade paralela e de módulo constante igual a V_{L}, em relação
à correnteza. Podemos afirmar que o intervalo de tempo entre o instante em que o dono alcança a canoa e o instante em que ele chega ao ponto P é:
(a) \left(\frac{V_{R}}{V_{L}}+1\right) \cdot \frac{\Delta t}{\left(\frac{V_{L}}{V_{R}}-1\right)}
(b) \left(\frac{V_{L}}{V_{R}}-1\right) \cdot \frac{\Delta t}{\left(\frac{V_{L}}{V_{R}}+1\right)}
(c) \left(\frac{V_{L}}{V_{R}}-1\right) \cdot \frac{\Delta t}{\left(\frac{V_{R}}{V_{L}}-1\right)}
(d) \left(\frac{V_{R}}{V_{L}}\right) \cdot \frac{\Delta t}{\left(\frac{V_{L}}{V_{R}}-1\right)}
(e) \left(\frac{V_{R}}{V_{L}}\right) \cdot \frac{\Delta t}{\left(\frac{V_{R}}{V_{L}}+1\right)}

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (todas extraídas do texto do problema):
  • A canoa está amarrada no ponto P e, ao ser solta, é levada pela correnteza com velocidade paralela e de módulo constante igual a V_{R} em relação à margem do rio.
  • Depois de um intervalo \Delta t (medido desde que a canoa é solta), o dono parte do ponto P numa lancha.
  • A lancha tem velocidade paralela e de módulo constante igual a V_{L} em relação à correnteza (isto é, V_{L} é a velocidade da lancha em relação à água).
  • A lancha vai na direção da canoa, alcança-a, prende-a e imediatamente inverte o sentido para voltar a P, mantendo o mesmo módulo V_{L} em relação à correnteza.
    A pergunta do enunciado:
  • Qual é o intervalo de tempo (tempo de retorno) entre o instante em que o dono alcança a canoa e o instante em que ele chega ao ponto P?
Observação importante (implícita no problema): para que a lancha consiga subir contra a corrente e voltar a P é necessário que V_{L}>V_{R}. Vou usar isso ao longo da resolução.

Passo 2

Defino um sistema de referência unidimensional ao longo do rio:
  • tomo x medindo distância a partir do ponto P no sentido da corrente (downstream); assim x=0 em P e valores positivos a jusante.
  • faço as contagens de tempo a partir do instante em que a canoa foi solta (ou seja, t=0 quando a canoa começa a se mover).
Expressões das posições:
  • posição da canoa, para qualquer t\ge0:
x_{c}(t)=V_{R}\,t,
pois ela parte de P em t=0 e se move com velocidade V_{R} relativa à margem.
  • a lancha parte de P em t=\Delta t. Enquanto vai a favor da corrente, sua velocidade relativa à margem é a soma da velocidade relativa à água e da corrente:
\text{velocidade da lancha (para frente) relativa à margem} = V_{L}+V_{R}.à
Portanto, para t\ge\Delta t a posição da lancha é
x_{b}(t)=(V_{L}+V_{R})\,(t-\Delta t),
pois ela parte do ponto P em t=\Delta t.

Passo 3

Determinar o instante em que a lancha alcança a canoa: chamo esse instante de T_{m} (tempo absoluto desde t=0). No instante de encontro vale
x_{c}(T_{m})=x_{b}(T_{m}).
Substituindo as expressões:
V_{R}\,T_{m}=(V_{L}+V_{R})\,(T_{m}-\Delta t).
Agora vou resolver essa equação para T_{m} passo a passo.

Passo 4

Desenvolvo a equação do encontro:
V_{R}T_{m}=(V_{L}+V_{R})T_{m}-(V_{L}+V_{R})\Delta t.
Pondo os termos com T_{m} no mesmo lado:
0=(V_{L}+V_{R})T_{m}-V_{R}T_{m}-(V_{L}+V_{R})\Delta t.
Agrupando T_{m}:
0=V_{L}T_{m}-(V_{L}+V_{R})\Delta t.
Logo
V_{L}T_{m}=(V_{L}+V_{R})\Delta t,
e, isolando T_{m},
T_{m}=\frac{V_{L}+V_{R}}{V_{L}}\,\Delta t.
Posso também escrever isso como
T_{m}=\left(1+\frac{V_{R}}{V_{L}}\right)\Delta t.

Passo 5

Calcular a posição (distância de P) onde ocorre o encontro: uso x_{c}(T_{m}):
x_{m}=x_{c}(T_{m})=V_{R}\,T_{m}.
Substituindo T_{m} obtido:
x_{m}=V_{R}\cdot\frac{V_{L}+V_{R}}{V_{L}}\,\Delta t
ou
x_{m}=\frac{V_{R}\,(V_{L}+V_{R})}{V_{L}}\,\Delta t.

Passo 6

Agora que a lancha alcançou e prende a canoa, ela inverte o sentido e volta a P. Ao subir contra a corrente, a velocidade efetiva da lancha (com a canoa) em relação à margem é
\text{velocidade upstream relativa à margem}=V_{L}-V_{R},à
novamente assumindo V_{L}>V_{R} para que essa velocidade seja positiva (isto é, a lancha consiga progredir contra a corrente).
O tempo de retorno t_{\text{ret}} (tempo entre o encontro e a chegada em P) é simplesmente a distância a percorrer dividida pela velocidade upstream:
t_{\text{ret}}=\frac{x_{m}}{V_{L}-V_{R}}.

Passo 7

Substituo x_{m} da Passo 5 na expressão do tempo de retorno:
t_{\text{ret}}=\frac{\dfrac{V_{R}\,(V_{L}+V_{R})}{V_{L}}\,\Delta t}{V_{L}-V_{R}}.
Simplifico escrevendo passo a passo. Primeiro fatorando:
t_{\text{ret}}=\frac{V_{R}}{V_{L}}\cdot\frac{V_{L}+V_{R}}{V_{L}-V_{R}}\,\Delta t.
Agora quero expressar isso numa das formas dadas nas alternativas. Note que
\frac{V_{R}}{V_{L}}+\;1=\frac{V_{R}+V_{L}}{V_{L}}=\frac{V_{L}+V_{R}}{V_{L}}
e também
\frac{V_{L}}{V_{R}}-1=\frac{V_{L}-V_{R}}{V_{R}}.
Usando essas relações, posso rearranjar t_{\text{ret}}. Começo por reescrever o fator \dfrac{V_{L}+V_{R}}{V_{L}-V_{R}} como
\frac{V_{L}+V_{R}}{V_{L}-V_{R}} = \frac{\dfrac{V_{L}+V_{R}}{V_{L}}}{\dfrac{V_{L}-V_{R}}{V_{L}}} = \frac{\dfrac{V_{R}}{V_{L}}+1}{1-\dfrac{V_{R}}{V_{L}}}.
Mas é mais direto reconhecer que se eu multiplicar numerador e denominador convenientemente obtenho a forma da alternativa (a). Faço isso explicitando uma forma alternativa:
t_{\text{ret}}=\left(\frac{V_{R}}{V_{L}}+1\right)\cdot\frac{\Delta t}{\left(\frac{V_{L}}{V_{R}}-1\right)}.
Para ver que isso é idêntico à expressão anterior, verifique multiplicando:
\left(\frac{V_{R}}{V_{L}}+1\right)\cdot\frac{1}{\left(\frac{V_{L}}{V_{R}}-1\right)} = \frac{\dfrac{V_{R}+V_{L}}{V_{L}}}{\dfrac{V_{L}-V_{R}}{V_{R}}} = \frac{V_{R}}{V_{L}}\cdot\frac{V_{L}+V_{R}}{V_{L}-V_{R}},
que é exatamente a expressão obtida anteriormente para t_{\text{ret}}. Portanto a forma apresentada corresponde à alternativa (a).

Passo 8

Interpretação final e condição: a expressão só faz sentido (tempo positivo finito) se V_{L}>V_{R}, condição física necessária para que a lancha consiga voltar. Concluí que a alternativa correta é a (a), dado que a expressão do tempo de retorno coincide com a alternativa (a).

Resposta

(a)

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