07 EsPCEx 2022/2023 Uma canoa amarrada ao ponto
, em um rio, solta-se e é levada pela correnteza das águas. A correnteza tem uma velocidade paralela e módulo constante igual a
, em relação à margem do rio. Após um intervalo de tempo igual a
, o dono da canoa parte do ponto
ao seu encalço com uma lancha que se desloca com uma velocidade paralela e de módulo constante igual a
, em relação à correnteza. Quando ele alcança a canoa, imediatamente a prende e inverte o sentido do movimento da lancha para retornar ao ponto
também com uma velocidade paralela e de módulo constante igual a
, em relação
à correnteza. Podemos afirmar que o intervalo de tempo entre o instante em que o dono alcança a canoa e o instante em que ele chega ao ponto
é:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
à correnteza. Podemos afirmar que o intervalo de tempo entre o instante em que o dono alcança a canoa e o instante em que ele chega ao ponto
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (todas extraídas do texto do problema):
- A canoa está amarrada no ponto
e, ao ser solta, é levada pela correnteza com velocidade paralela e de módulo constante igual a em relação à margem do rio. - Depois de um intervalo
(medido desde que a canoa é solta), o dono parte do ponto numa lancha. - A lancha tem velocidade paralela e de módulo constante igual a
em relação à correnteza (isto é, é a velocidade da lancha em relação à água). - A lancha vai na direção da canoa, alcança-a, prende-a e imediatamente inverte o sentido para voltar a
, mantendo o mesmo módulo em relação à correnteza.
A pergunta do enunciado: - Qual é o intervalo de tempo (tempo de retorno) entre o instante em que o dono alcança a canoa e o instante em que ele chega ao ponto
?
Observação importante (implícita no problema): para que a lancha consiga subir contra a corrente e voltar a
é necessário que
. Vou usar isso ao longo da resolução.
Passo 2
Defino um sistema de referência unidimensional ao longo do rio:
- tomo
medindo distância a partir do ponto no sentido da corrente (downstream); assim em e valores positivos a jusante. - faço as contagens de tempo a partir do instante em que a canoa foi solta (ou seja,
quando a canoa começa a se mover).
Expressões das posições:
- posição da canoa, para qualquer
:
pois ela parte de
em
e se move com velocidade
relativa à margem.
- a lancha parte de
em . Enquanto vai a favor da corrente, sua velocidade relativa à margem é a soma da velocidade relativa à água e da corrente:
Portanto, para
a posição da lancha é
pois ela parte do ponto
em
.
Passo 3
Determinar o instante em que a lancha alcança a canoa: chamo esse instante de
(tempo absoluto desde
). No instante de encontro vale
Substituindo as expressões:
Agora vou resolver essa equação para
passo a passo.
Passo 4
Desenvolvo a equação do encontro:
Pondo os termos com
no mesmo lado:
Agrupando
:
Logo
e, isolando
,
Posso também escrever isso como
Passo 5
Calcular a posição (distância de
) onde ocorre o encontro: uso
:
Substituindo
obtido:
ou
Passo 6
Agora que a lancha alcançou e prende a canoa, ela inverte o sentido e volta a
. Ao subir contra a corrente, a velocidade efetiva da lancha (com a canoa) em relação à margem é
novamente assumindo
para que essa velocidade seja positiva (isto é, a lancha consiga progredir contra a corrente).
O tempo de retorno
(tempo entre o encontro e a chegada em
) é simplesmente a distância a percorrer dividida pela velocidade upstream:
Passo 7
Substituo
da Passo 5 na expressão do tempo de retorno:
Simplifico escrevendo passo a passo. Primeiro fatorando:
Agora quero expressar isso numa das formas dadas nas alternativas. Note que
e também
Usando essas relações, posso rearranjar
. Começo por reescrever o fator
como
Mas é mais direto reconhecer que se eu multiplicar numerador e denominador convenientemente obtenho a forma da alternativa (a). Faço isso explicitando uma forma alternativa:
Para ver que isso é idêntico à expressão anterior, verifique multiplicando:
que é exatamente a expressão obtida anteriormente para
. Portanto a forma apresentada corresponde à alternativa (a).
Passo 8
Interpretação final e condição: a expressão só faz sentido (tempo positivo finito) se
, condição física necessária para que a lancha consiga voltar. Concluí que a alternativa correta é a (a), dado que a expressão do tempo de retorno coincide com a alternativa (a).
Resposta
(a)