08 EsPCEx 2024/2025 Um helicóptero voa com velocidade constante de módulo V_{1}, em relação ao solo, de uma posição A até outra posição B, horizontalmente na mesma direção e sentido do vento. Ao retornar, pelo mesmo trajeto, agora contra o vento, sua velocidade constante tem módulo V_{2} em relação ao solo. O valor do módulo da velocidade do helicóptero V_{H}, que é o mesmo na ida e na volta, em relação à massa de ar, e o valor do módulo da velocidade constante do vento V_{V}, em relação ao solo, são respectivamente:
(a) V_{H}=\frac{\left(V_{1}+V_{2}\right)}{2} e \quad V_{V}=\frac{\left(V_{1}-V_{2}\right)}{2}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo na mesma direção retilínea):
  • O helicóptero vai de A para B a favor do vento com velocidade, em relação ao solo, de módulo V_{1}.
  • Ao voltar de B para A (contra o vento) sua velocidade, em relação ao solo, tem módulo V_{2}.
  • O módulo da velocidade do helicóptero em relação à massa de ar (airspeed) é o mesmo na ida e na volta: V_{H} (é isso que queremos achar).
  • O módulo da velocidade do vento em relação ao solo é V_{V} (também queremos achar).
    O que o problema pede: encontrar expressões para V_{H} e para V_{V} em função de V_{1} e V_{2}.

Passo 2

Conceito chave (explicado de forma simples): a velocidade do helicóptero em relação ao solo é a soma vetorial da velocidade do helicóptero em relação ao ar e da velocidade do ar em relação ao solo (vento). Em notação vetorial:
\vec{V}_{\text{solo}}=\vec{V}_{H/\text{ar}}+\vec{V}_{\text{ar/solo}}.
Como tudo está numa mesma linha (colinear) podemos tratar escalars com sinal, escolhendo um sentido positivo. Vou escolher o sentido de A para B como positivo. Assim:
  • A velocidade do vento em nosso eixo vale +V_{V} (porque o vento sopra no mesmo sentido A\to B na ida).
  • A velocidade do helicóptero em relação ao ar tem módulo V_{H}, mas seu sinal depende do sentido do voo.

Passo 3

Ida ( A\to B, a favor do vento): tanto o vento quanto o vetor velocidade do helicóptero em relação ao ar apontam para A\to B (sentido positivo). Portanto, os módulos somam e o módulo da velocidade em relação ao solo é
V_{1}=V_{H}+V_{V}.
Esta equação é direta: chão vê helicóptero mais vento somando.

Passo 4

Volta ( B\to A, contra o vento): o helicóptero aponta para B\to A, que é o sentido negativo. Em nosso eixo, a velocidade do helicóptero em relação ao ar vale -V_{H} (pois aponta no sentido oposto), enquanto o vento continua com componente +V_{V}. A velocidade do helicóptero em relação ao solo durante a volta é então
\text{velocidade no eixo} = -V_{H}+V_{V}.
Mas o enunciado dá o módulo positivo dessa velocidade, que é V_{2} e aponta de B para A (sentido negativo no eixo). Escrevendo a igualdade com sinais:
-\,V_{2}=-V_{H}+V_{V}.
Multiplicando por -1 obtemos a forma prática:
V_{2}=V_{H}-V_{V}.

Passo 5

Agora resolvemos o sistema formado por
\begin{cases} V_{1}=V_{H}+V_{V},\\[4pt] V_{2}=V_{H}-V_{V}. \end{cases}
Somando as duas equações:
V_{1}+V_{2}=2V_{H}\quad\Rightarrow\quad V_{H}=\dfrac{V_{1}+V_{2}}{2}.
Subtraindo a segunda da primeira:
V_{1}-V_{2}=2V_{V}\quad\Rightarrow\quad V_{V}=\dfrac{V_{1}-V_{2}}{2}.
Cada passo algébrico é apenas soma/subtração e divisão por 2.]

Passo 6

Interpretação física rápida e checagem simples:
  • Se não houver vento ( V_{V}=0) então V_{1}=V_{2}=V_{H}, e as fórmulas retornam isso.
  • Se o vento for forte, V_{1}>V_{H} e V_{2}<V_{H}; as fórmulas seguem essa lógica.
    Exemplo numérico para fixar: se V_{1}=120 e V_{2}=80, então V_{H}=(120+80)/2=100 e V_{V}=(120-80)/2=20.

Resposta

V_{H}=\dfrac{V_{1}+V_{2}}{2}
V_{V}=\dfrac{V_{1}-V_{2}}{2}

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