09 . O volume de um cilindro equilátero é 128 \pi \mathrm{cm}^{3}. Calcule a área total desse cilindro.

Passo 1

O enunciado diz que temos um cilindro equilátero cujo volume é 128\pi,c m^{3}. Em um cilindro equilátero, a altura h é igual ao diâmetro da base, ou seja,
h = 2r,
onde r é o raio da base. Vamos usar a fórmula do volume de um cilindro reto:
V = \pi r^2 h.

Passo 2

Substituindo h = 2r na fórmula do volume, obtemos
V = \pi r^2 \cdot (2r) = 2\pi r^3.
Como V = 128\pi, temos
2\pi r^3 = 128\pi
r^3 = 64
r = 4\\ \text{cm}.

Passo 3

Agora que achamos r = 4,cm, calculamos a altura:
h = 2r = 2 \times 4 = 8\\ \text{cm}.

Passo 4

A área total de um cilindro é dada por
A_{\text{tot}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h,
onde o primeiro termo é a soma das áreas das duas bases e o segundo é a área lateral. Substituindo r=4 e h=8,
A_{\text{tot}} = 2\pi (4)^2 + 2\pi \cdot 4 \cdot 8 = 2\pi \cdot 16 + 2\pi \cdot 32 = 32\pi + 64\pi = 96\pi\\ \text{cm}^2.

Resposta

A área total do cilindro é 96\pi,c m^{2}.

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