[^0]carries a charge q and has a velocity v is given by
F=q E+q v times B
where we assume that v ll c (speed of light).
(a) If there is no electric field and if the particle enters the magnetic field in a direction perpendicular to the lines of magnetic flux, show that the trajectory is a circle with radius
r=m vq B=vomegac
where omegac equiv q B / m is the cyclotron frequency.
(b) Choose the z-axis to lie in the direction of B and let the plane containing E and B be the y z-plane. Thus
B=B k, E=Ey j+Ez k
Show that the z component of the motion is given by
z(t)=z0+dotz0 t+q E22 m t^2
where
z(0) equiv z0 and dotz(0) equiv dotz0

Passo 1

Beleza, então o enunciado tá falando da força de Lorentz
F=qE+q,vtimesB
com vll c.
(a) Se E=0 e vperpB, mostra que a partícula faz movimento circular de raio
r=mvqB=vomegac,omegac=qBm
(b) A gente escolhe B=B,k (eixo z) e E=Ey,j+Ez,k (plano yz). Precisa mostrar que a componente z(t) é
z(t)=z0+dot z0,t+qEz2m,t^2
O conteúdo aqui é Dinâmica em campo eletromagnético e resolução de equação de movimento (integrar acelerações).

Passo 2

Parte (a): movimento circular
  1. Como E=0, a força é só magnética: F=q,vtimesB
    2) Se vperpB, o módulo é
    F=q,v,B,e essa força fica sempre perpendicular à velocidade, ou seja, é força centrípeta.
  2. Na mecânica clássica, força centrípeta vale Frm cent=mv^2r
    4) Igualando as duas expressões:
    qvB=mv^2rlongrightarrow r=mv^2qvB=mvqB
  3. Se definir omegacequiv qB/m, então r=v/omegac.

Passo 3

Parte (b): movimento em z
  1. A força total ainda é F=q(E+vtimesB).
  2. Mas em z, o único termo que interessa é Fz=qEz, pois (vtimesB)z=0 quando B está em z.
  3. Pela segunda lei de Newton em z: mddot z=Fz=qEzLongrightarrow ddot z=qEzm=constante
    4) Agora é só integrar duas vezes:
    - Integração 1: dot z(t)=dot z0+qEzm,t.
    - Integração 2:
    z(t)=z0+dot z0,t+12,qEzm,t^2

Resposta

(a) O raio é
r=mvqB=vomegac,omegac=qBm
(b) A evolução em z é
boxedz(t)=z0+dot z0,t+qEz2m,t^2

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