The motion of a charged particle in an electromagnetic field can be obtained from the Lorentz equation* for the force on a particle in such a field. If the electric field vector is E and the magnetic field vector is B, the force on a particle of mass m that
[^0]carries a charge q and has a velocity v is given by
F=q E+q v times B
where we assume that v ll c (speed of light).
Choose the z-axis to lie in the direction of B and let the plane containing E and B be the y z-plane. Thus
B=B k, E=Ey j+Ez k
Show that the z component of the motion is given by
z(t)=z0+dotz0 t+q E22 m t^2
where
z(0) equiv z0 and dotz(0) equiv dotz0

Passo 1

Beleza, galera! O enunciado pede pra gente olhar o movimento de uma partícula carregada sob ação de um campo elétrico F = q,E + q,vtimesB e magnético m,ddotr = F . A ideia é usar a Lei de Lorentz
e a Segunda Lei de Newton
para achar a posição . Como o campo magnético aponta em e o elétrico tem componentes em e , vamos extrair só a parte que interessa para o eixo e integrar a equação de movimento.

Passo 2

Vamos ver como fica a força em Fz = q,Ez .
  1. O campo elétrico é .
  2. O campo magnético é .
  3. O termo tem somente componentes em e (porque está em ), então não contribui para a força em .
    Logo, a única contribuição para vem de :

Passo 3

Agora aplicamos a Segunda Lei de Newton em m,ddot z(t) = Fz = q,Ez :
ddot z(t) = q,Ezm equiv az,
Repare que é constante, então é uma constante:

Passo 4

É só integrar duas vezes:
  1. Integração para a velocidade:
dot z(t) = dot z(0) + az,t = dot z0 + q,Ezm,t
  1. Integração para a posição:
z(t) = z(0) + dot z0,t + 12az,t^2 = z0 + dot z0,t + q,Ez2m,t^2

Resposta

z(t)=z0+dot z0,t+q,Ez2,m,t^2

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