The motion of a charged particle in an electromagnetic field can be obtained from the Lorentz equation* for the force on a particle in such a field. If the electric field vector is E and the magnetic field vector is B, the force on a particle of mass m that
[^0]carries a charge q and has a velocity v is given by
F=q E+q v times B
where we assume that v ll c (speed of light).
Continue the calculation and obtain expressions for dotx(t) and doty(t). Show that the time averages of these velocity components are
lang<=dotxrang<==EyB, lang<=dotyrang<==0
(Show that the motion is periodic and then average over one complete period.)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma partícula de massa m e carga q sujeita a um campo elétrico E e magnético B. A força é dada por
F=q,E+q,vtimesB
e a gente assume vll c. O objetivo é achar as componentes dot x(t) e dot y(t) da velocidade e mostrar que, em média,
lang<=dot xrang<==EyB,lang<=dot yrang<==0,
Matéria: eletromagnetismo—força de Lorentz e solução de equações diferenciais lineares. Vamos precisar escrever as equações de movimento componente a componente, transformar numa EDO de segunda ordem e achar a solução geral (parte homogênea + particular).

Passo 2

Escrevendo a segunda lei de Newton F=m,dotv em cada componente, e escolhendo forçou simples:
  • Campo elétrico só em y, ou seja E=Ey,hat y.
  • Campo magnético só em z, ou seja B=B,hat z.
    Então a força vira
mdot vx ;=; ql(0 + (vy,hat y)times(B,hat z)r);=;q,vy,B
mdot vy ;=; ql(Ey,hat y + (vx,hat x)times(B,hat z)r);=;q,Ey - q,vx,B
e não precisamos de vz porque nesse problema o movimento fica no plano xy.

Passo 3

Vamos deixar mais claro as EDOs:
dot vx = qBm,vy(1),,dot vy = qmEy ;-;qBm,vx(2),
Aqui aparece a velocidade do ciclotron omegac=qBm, que é a frequência com que a partícula “gira” em volta das linhas de B.

Passo 4

Para resolver, a gente elimina vy. Derivando (1) em relação ao tempo:
ddot vx = omegac,dot vy,
Agora substitui dot vy da equação (2):
$$\ddot v_x = \omega_c\Bigl(\frac{q}{m}E_y - \omega_c,v_x\Bigr)
=\omega_c\frac{q}{m}E_y - \omega_c^2,v_x,. ddot vx = omegacl(qmEy - omegac,vxr) =omegacqmEy - omegac^2,vx, ã\ddot v_x + \omega_c^2,v_x = \omega_c^2,\frac{E_y}{B},. $$
Isso é uma EDO linear não homogênea de segunda ordem.

Passo 5

A solução geral é soma de:
  1. parte homogênea ddot vx+omegac^2vx=0;Rightarrow;Acos(omegac t)+Csin(omegac t),
  2. parte particular constante vx,p=EyB.
    Logo
vx(t)=dot x(t)=EyB+Acos(omegac t)+Csin(omegac t),
Para vy(t) a gente usa (1):
$$v_y(t)=\dot y(t)=\frac{1}{\omega_c},\dot v_x(t)
=-A\sin(\omega_c t)+C\cos(\omega_c t),. $$
Perceba que a parte oscilatória (coeficientes vy(t)=dot y(t)=1omegac,dot vx(t) =-Asin(omegac t)+Ccos(omegac t), ) faz a partícula girar — daí a frequência de ciclotron — e a parte constante A,C é um “drift” em EyB.

Passo 6

Como a parte oscilatória é composta de cosseno e seno com período T=2pi/omegac, a média temporal delas é zero. Então, ao fazer
lang<=dot xrang<==1Tintegral0^T vx(t),dt, lang<=dot yrang<==1Tintegral0^T vy(t),dt,
as contribuições de cos(omegac t) e sin(omegac t) se anulam, sobrando só a parte constante.

Resposta

boxedlang<=dot xrang<==EyB, lang<=dot yrang<==0

Exercícios relacionados