The motion of a charged particle in an electromagnetic field can be obtained from the Lorentz equation* for the force on a particle in such a field. If the electric field vector is
and the magnetic field vector is
, the force on a particle of mass
that
[^0]carries a charge
and has a velocity
is given by
where we assume that
(speed of light).
Continue the calculation and obtain expressions for
and
. Show that the time averages of these velocity components are
(Show that the motion is periodic and then average over one complete period.)
[^0]carries a charge
Continue the calculation and obtain expressions for
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem uma partícula de massa
e carga
sujeita a um campo elétrico
e magnético
. A força é dada por
e a gente assume
Matéria: eletromagnetismo—força de Lorentz e solução de equações diferenciais lineares. Vamos precisar escrever as equações de movimento componente a componente, transformar numa EDO de segunda ordem e achar a solução geral (parte homogênea + particular).
Passo 2
Escrevendo a segunda lei de Newton
em cada componente, e escolhendo forçou simples:
- Campo elétrico só em
, ou seja . - Campo magnético só em
, ou seja .
Então a força vira
e não precisamos de
Passo 3
Vamos deixar mais claro as EDOs:
Aqui aparece a velocidade do ciclotron
Passo 4
Para resolver, a gente elimina
. Derivando (1) em relação ao tempo:
Agora substitui
$$\ddot v_x = \omega_c\Bigl(\frac{q}{m}E_y - \omega_c,v_x\Bigr)
=\omega_c\frac{q}{m}E_y - \omega_c^2,v_x,.
\ddot v_x + \omega_c^2,v_x = \omega_c^2,\frac{E_y}{B},. $$
Isso é uma EDO linear não homogênea de segunda ordem.
Passo 5
A solução geral é soma de:
- parte homogênea
, - parte particular constante
.
Logo
Para
$$v_y(t)=\dot y(t)=\frac{1}{\omega_c},\dot v_x(t)
=-A\sin(\omega_c t)+C\cos(\omega_c t),. $$
Perceba que a parte oscilatória (coeficientes ) faz a partícula girar — daí a frequência de ciclotron — e a parte constante
é um “drift” em
.
Perceba que a parte oscilatória (coeficientes
Passo 6
Como a parte oscilatória é composta de cosseno e seno com período
, a média temporal delas é zero. Então, ao fazer
as contribuições de