(2,0pontos)Os vetores \vec{u}=\left(x_{1}, 2,5\right) e \vec{v}=\left(3,4, z_{1}\right) são ortogonais sendo x_{1}, z_{1} números reais com z_{1}>0 e sabendo que |\vec{v}|=\sqrt{29}, calcule x_{1}^{z_{1}}
(a) -\frac{1}{36}
(b) 36
(c) \frac{1}{36}
(d) 64
(e) -\frac{1}{64}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=\left(x_{1},\,2,\,5\right) e \vec{v}=\left(3,\,4,\,z_{1}\right) com x_{1},\,z_{1}\in\mathbb{R} e z_{1}>0. Sabe-se também que |\vec{v}|=\sqrt{29} e que \vec{u} e \vec{v} são ortogonais. O que é pedido: calcular x_{1}^{z_{1}}. As opções são:
(a) -\dfrac{1}{36}
(b) 36
(c) \dfrac{1}{36}
(d) 64
(e) -\dfrac{1}{64}.

Passo 2

Lembrando a definição do comprimento (norma) de um vetor em \mathbb{R}^3: para \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) vale
|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.
No problema \vec{v}=(3,4,z_{1}) e foi dado que |\vec{v}|=\sqrt{29}. Vou usar essa fórmula para achar z_{1}.

Passo 3

Aplicando a fórmula da norma:
|\vec{v}|^2=(3)^2+(4)^2+(z_{1})^2 = 9+16+z_{1}^2.
Como |\vec{v}|=\sqrt{29}, tem-se |\vec{v}|^2=29. Portanto
9+16+z_{1}^2=29.
Somando 9+16 obtemos 25, então
25+z_{1}^2=29 \quad\Rightarrow\quad z_{1}^2=4.
Da igualdade z_{1}^2=4 seguem duas possibilidades z_{1}=2 ou z_{1}=-2, mas o enunciado afirma z_{1}>0. Logo
z_{1}=2.

Passo 4

Agora usamos a condição de ortogonalidade. Para dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), o produto escalar é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar vale zero: \vec{a}\cdot\vec{b}=0.

Passo 5

Aplicando isso a \vec{u}=(x_{1},2,5) e \vec{v}=(3,4,z_{1}) com z_{1}=2:
\vec{u}\cdot\vec{v}=x_{1}\cdot 3 + 2\cdot 4 + 5\cdot z_{1} = 0.
Substituindo z_{1}=2:
3x_{1} + 8 + 5\cdot 2 = 0.
Como 5\cdot 2=10, isso dá
3x_{1} + 8 + 10 = 0 \quad\Rightarrow\quad 3x_{1} + 18 = 0.
Isolando x_{1}:
3x_{1} = -18 \quad\Rightarrow\quad x_{1} = -6.

Passo 6

Precisamos calcular x_{1}^{z_{1}}. Substituindo x_{1}=-6 e z_{1}=2 obtemos
x_{1}^{z_{1}} = (-6)^2.
Regra de potências: uma base negativa elevada a um expoente inteiro par resulta em número positivo; portanto
(-6)^2 = 36.

Resposta

(b) 36

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