(3.0pts) Encontre a equação do plano tangente a superfĩcie
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá:
- A função
. - O ponto
onde se quer o plano tangente.
O que é pedido:
- Encontrar a equação do plano tangente à superfície
no ponto .
Passo 2
Ideia e fórmula que vamos usar (explicada de forma didática):
- Para uma superfície dada por
e um ponto com , o plano tangente é a aproximação linear de perto desse ponto. - A fórmula do plano tangente é
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
.
- Intuição das derivadas parciais:
é a inclinação da superfície na direção do eixo (mantendo fixo), e é a inclinação na direção do eixo (mantendo fixo). O plano tangente usa essas duas inclinações para formar a melhor aproximação linear.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
- Usamos a regra da cadeia: se
então . - Tomando
e derivando em relação a (mantendo constante) obtemos
- De modo análogo, derivando em relação a
,
Ou seja, as duas derivadas parciais são iguais porque
depende de
e
apenas pela soma
.
Passo 4
Avaliar
e as derivadas parciais no ponto
.
- Primeiro confirmar
, que coincide com a coordenada do ponto . - Calcular
. Substituindo em e ,
Passo 5
Substituir na fórmula do plano tangente:
- Usando
, e , temos
- Substituindo os valores:
Passo 6
Simplificar a expressão para uma forma mais direta:
Opcionalmente multiplicando por
para obter uma forma com coeficientes inteiros:
ou rearranjando,
Verificação rápida: ao substituir
,
na forma
obtemos
, então o plano passa por
— consistência confirmada.
Passo 7
Dica para a prova (rápida e prática):
- Sempre calcule
e e avalie no ponto antes de montar a fórmula. Se for função de , as derivadas costumam ser iguais como aqui. - Se houver raiz de índice par ou expressão com potência, checar se o ponto está em região onde a derivada existe (aqui existe porque
). - Respire fundo — esse tipo de exercício é só aplicação direta da fórmula do plano tangente.