(3.0pts) Encontre a equação do plano tangente a superfĩcie f(x, y)=\sqrt[3]{x+y} no ponto P(0,1,1).

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função f(x,y)=\sqrt[3]{x+y}.
  • O ponto P(0,1,1) onde se quer o plano tangente.
O que é pedido:
  • Encontrar a equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto P.

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (explicada de forma didática):
  • Para uma superfície dada por z=f(x,y) e um ponto (x_0,y_0,z_0) com z_0=f(x_0,y_0), o plano tangente é a aproximação linear de f perto desse ponto.
  • A fórmula do plano tangente é
z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0),
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y.
  • Intuição das derivadas parciais: f_x(x_0,y_0) é a inclinação da superfície na direção do eixo x (mantendo y fixo), e f_y(x_0,y_0) é a inclinação na direção do eixo y (mantendo x fixo). O plano tangente usa essas duas inclinações para formar a melhor aproximação linear.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=\sqrt[3]{x+y}=(x+y)^{1/3}.
  • Usamos a regra da cadeia: se g(u)=u^{1/3} então g'(u)=\dfrac{1}{3}u^{-2/3}.
  • Tomando u=x+y e derivando em relação a x (mantendo y constante) obtemos
f_x(x,y)=\frac{1}{3}(x+y)^{-2/3}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+y)=\frac{1}{3}(x+y)^{-2/3}.
  • De modo análogo, derivando em relação a y,
f_y(x,y)=\frac{1}{3}(x+y)^{-2/3}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x+y)=\frac{1}{3}(x+y)^{-2/3}.
Ou seja, as duas derivadas parciais são iguais porque f depende de x e y apenas pela soma x+y.

Passo 4

Avaliar f e as derivadas parciais no ponto (x_0,y_0)=(0,1).
  • Primeiro confirmar f(0,1)=\sqrt[3]{0+1}=\sqrt[3]{1}=1, que coincide com a coordenada z_0=1 do ponto P.
  • Calcular x_0+y_0=0+1=1. Substituindo em f_x e f_y,
f_x(0,1)=\frac{1}{3}\cdot 1^{-2/3}=\frac{1}{3}, \qquad f_y(0,1)=\frac{1}{3}\cdot 1^{-2/3}=\frac{1}{3}.

Passo 5

Substituir na fórmula do plano tangente:
  • Usando (x_0,y_0,z_0)=(0,1,1), f_x(0,1)=\dfrac{1}{3} e f_y(0,1)=\dfrac{1}{3}, temos
z = f(0,1) + f_x(0,1)(x-0) + f_y(0,1)(y-1).
  • Substituindo os valores:
z = 1 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}(y-1).

Passo 6

Simplificar a expressão para uma forma mais direta:
z = 1 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}y - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}y.
Opcionalmente multiplicando por 3 para obter uma forma com coeficientes inteiros:
3z = 2 + x + y,
ou rearranjando,
x + y - 3z + 2 = 0.
Verificação rápida: ao substituir x=0, y=1 na forma z=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{3}y obtemos z=1, então o plano passa por P — consistência confirmada.

Passo 7

Dica para a prova (rápida e prática):
  • Sempre calcule f_x e f_y e avalie no ponto antes de montar a fórmula. Se f for função de x+y, as derivadas costumam ser iguais como aqui.
  • Se houver raiz de índice par ou expressão com potência, checar se o ponto está em região onde a derivada existe (aqui existe porque x+y=1\neq0).
  • Respire fundo — esse tipo de exercício é só aplicação direta da fórmula do plano tangente.

Resposta

z=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{3}y+\dfrac{2}{3}

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