Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
e informa a substituição trigonométrica a ser usada:
.
Não há limites, portanto precisamos encontrar uma antiderivada (expressão com constante de integração ). As informações relevantes fornecidas são:
Não há limites, portanto precisamos encontrar uma antiderivada (expressão com constante de integração
- a integral original é
; - a substituição proposta é
.
Passo 2
Vamos transformar todas as partes da integral em função de
. Primeiro calculamos
e
a partir de
.
Derivando
em relação a
:
Agora a raiz:
onde usamos
e tomamos
na escolha padrão da substituição.
Também escrevemos
:
Passo 3
Substituindo tudo na integral:
Multiplicando os fatores numéricos e trigonométricos:
Passo 4
Escolha de técnica para integrar
.
Observação útil: quando uma integral trigonométrica tem uma potência ímpar de
, é conveniente separar um fator
e usar
porque
. Assim reescrevemos
Passo 5
Fazendo a substituição
, então
. Portanto
Integrando em
:
Voltando o fator
que estava fora:
Passo 6
Agora voltamos a
e depois a
. Lembrando
e que, pela substituição inicial,
Calculamos
e
:
Substituindo em
:
Uma forma factorizada (opcional) é
que é equivalente à expressão anterior.