\int x^{3} \sqrt{9-x^{2}} d x ; \quad x=3 \operatorname{sen} \theta

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x^{3}\sqrt{9-x^{2}}\,dx,
e informa a substituição trigonométrica a ser usada: x=3\operatorname{sen}\theta.
Não há limites, portanto precisamos encontrar uma antiderivada (expressão com constante de integração C). As informações relevantes fornecidas são:
  • a integral original é \int x^{3}\sqrt{9-x^{2}}\,dx;
  • a substituição proposta é x=3\operatorname{sen}\theta.

Passo 2

Vamos transformar todas as partes da integral em função de \theta. Primeiro calculamos dx e \sqrt{9-x^{2}} a partir de x=3\operatorname{sen}\theta.
Derivando x em relação a \theta:
dx = 3\cos\theta\,d\theta.
Agora a raiz:
\sqrt{9-x^{2}}=\sqrt{9-(3\operatorname{sen}\theta)^{2}}=\sqrt{9-9\operatorname{sen}^{2}\theta}=\sqrt{9(1-\operatorname{sen}^{2}\theta)}=3\cos\theta,
onde usamos 1-\operatorname{sen}^{2}\theta=\cos^{2}\theta e tomamos \cos\theta\ge0 na escolha padrão da substituição.
Também escrevemos x^{3}:
x^{3}=(3\operatorname{sen}\theta)^{3}=27\operatorname{sen}^{3}\theta.

Passo 3

Substituindo tudo na integral:
\int x^{3}\sqrt{9-x^{2}}\,dx = \int \bigl(27\operatorname{sen}^{3}\theta\bigr)\bigl(3\cos\theta\bigr)\bigl(3\cos\theta\,d\theta\bigr).
Multiplicando os fatores numéricos e trigonométricos:
\int x^{3}\sqrt{9-x^{2}}\,dx = 27\cdot 3\cdot 3 \int \operatorname{sen}^{3}\theta\cos^{2}\theta\,d\theta =243\int \operatorname{sen}^{3}\theta\cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Escolha de técnica para integrar \int \operatorname{sen}^{3}\theta\cos^{2}\theta\,d\theta.
Observação útil: quando uma integral trigonométrica tem uma potência ímpar de \operatorname{sen}, é conveniente separar um fator \operatorname{sen}\theta\,d\theta e usar u=\cos\theta porque du=-\operatorname{sen}\theta\,d\theta. Assim reescrevemos
\operatorname{sen}^{3}\theta\cos^{2}\theta = \operatorname{sen}\theta\bigl(\operatorname{sen}^{2}\theta\bigr)\cos^{2}\theta = \operatorname{sen}\theta\bigl(1-\cos^{2}\theta\bigr)\cos^{2}\theta = \operatorname{sen}\theta\bigl(\cos^{2}\theta-\cos^{4}\theta\bigr).

Passo 5

Fazendo a substituição u=\cos\theta, então du=-\operatorname{sen}\theta\,d\theta. Portanto
\int \operatorname{sen}^{3}\theta\cos^{2}\theta\,d\theta = \int \operatorname{sen}\theta\bigl(\cos^{2}\theta-\cos^{4}\theta\bigr)\,d\theta = -\int \bigl(u^{2}-u^{4}\bigr)\,du.
Integrando em u:
-\int \bigl(u^{2}-u^{4}\bigr)\,du = -\left(\frac{u^{3}}{3}-\frac{u^{5}}{5}\right) = -\frac{u^{3}}{3}+\frac{u^{5}}{5}.
Voltando o fator 243 que estava fora:
243\int \operatorname{sen}^{3}\theta\cos^{2}\theta\,d\theta =243\left(-\frac{u^{3}}{3}+\frac{u^{5}}{5}\right) = -81u^{3}+\frac{243}{5}u^{5}+C.

Passo 6

Agora voltamos a \theta e depois a x. Lembrando u=\cos\theta e que, pela substituição inicial,
\cos\theta=\sqrt{1-\operatorname{sen}^{2}\theta}=\sqrt{1-\Bigl(\frac{x}{3}\Bigr)^{2}}=\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{3}.
Calculamos u^{3} e u^{5}:
u^{3}=\frac{\bigl(\sqrt{9-x^{2}}\bigr)^{3}}{27}=\frac{(9-x^{2})^{3/2}}{27}, \qquad u^{5}=\frac{(9-x^{2})^{5/2}}{243}.
Substituindo em -81u^{3}+\dfrac{243}{5}u^{5}:
-81\cdot\frac{(9-x^{2})^{3/2}}{27}+\frac{243}{5}\cdot\frac{(9-x^{2})^{5/2}}{243} = -3(9-x^{2})^{3/2}+\frac{1}{5}(9-x^{2})^{5/2}+C.
Uma forma factorizada (opcional) é
-\frac{x^{2}+6}{5}(9-x^{2})^{3/2}+C,
que é equivalente à expressão anterior.

Resposta

\dfrac{1}{5}(9-x^{2})^{5/2}-3(9-x^{2})^{3/2}+C

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