(2,0) Determine os 5 primeiros termos de cada sequência; e se a sequência é converge ou divergente; se for convergente ache o limite:
a_{n}=\frac{(2 n-1)!}{(2 n+1)!}
a_{n}=\frac{(2 n-1)!}{(2 n+1)!}
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede:
- Determinar os 5 primeiros termos (
); - Dizer se a sequência converge ou diverge;
- Se converge, encontrar o limite.
Informações dadas: a fórmula fechada da sequência (já escrita acima). Não há outros dados.
Passo 2
Vamos entender a notação e usar uma propriedade básica de fatoriais. Lembre que, para todo inteiro
,
Aplicando isso com
obtemos
Essa identidade permite cancelar um fator comum com o numerador
.
Passo 3
Usando a expressão do passo anterior, simplificamos
:
Também podemos escrever
mas a forma
é mais clara para cálculo e comparação.
Passo 4
Agora calculo os cinco primeiros termos substituindo
na forma simplificada
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora determino o comportamento quando
. Note que todos os termos são positivos:
Compare
com uma sequência conhecida que tende a zero. Para
,
logo
Como
quando
, pelo princípio do confronto (squeeze) segue que
Também se pode ver diretamente que
decresce para
porque o denominador cresce como
.
Passo 6
Resumo do que foi encontrado: os cinco primeiros termos foram calculados e a sequência é positiva, decrescente (em valor) e tende a zero, portanto converge.
Resposta
A sequência converge e