(2,0) Determine os 5 primeiros termos de cada sequência; e se a sequência é converge ou divergente; se for convergente ache o limite:
a_{n}=\frac{(2 n-1)!}{(2 n+1)!}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{(2n-1)!}{(2n+1)!},
e pede:
  • Determinar os 5 primeiros termos ( a_1,a_2,a_3,a_4,a_5);
  • Dizer se a sequência converge ou diverge;
  • Se converge, encontrar o limite.
Informações dadas: a fórmula fechada da sequência (já escrita acima). Não há outros dados.

Passo 2

Vamos entender a notação e usar uma propriedade básica de fatoriais. Lembre que, para todo inteiro k\ge1,
k! = k\cdot(k-1)!\quad\text{e portanto}\quad (k+1)!=(k+1)\,k!.
Aplicando isso com k=2n obtemos
(2n+1)!=(2n+1)(2n)!=(2n+1)(2n)(2n-1)!.
Essa identidade permite cancelar um fator comum com o numerador (2n-1)!.

Passo 3

Usando a expressão do passo anterior, simplificamos a_n:
a_n=\frac{(2n-1)!}{(2n+1)!} =\frac{(2n-1)!}{(2n+1)(2n)(2n-1)!} =\frac{1}{(2n)(2n+1)}.
Também podemos escrever
a_n=\frac{1}{4n^2+2n},
mas a forma \dfrac{1}{(2n)(2n+1)} é mais clara para cálculo e comparação.

Passo 4

Agora calculo os cinco primeiros termos substituindo n=1,2,3,4,5 na forma simplificada \dfrac{1}{(2n)(2n+1)}.
  • Para n=1:
a_1=\frac{1}{(2\cdot1)(2\cdot1+1)}=\frac{1}{2\cdot3}=\frac{1}{6}.
  • Para n=2:
a_2=\frac{1}{(2\cdot2)(2\cdot2+1)}=\frac{1}{4\cdot5}=\frac{1}{20}.
  • Para n=3:
a_3=\frac{1}{(2\cdot3)(2\cdot3+1)}=\frac{1}{6\cdot7}=\frac{1}{42}.
  • Para n=4:
a_4=\frac{1}{(2\cdot4)(2\cdot4+1)}=\frac{1}{8\cdot9}=\frac{1}{72}.
  • Para n=5:
a_5=\frac{1}{(2\cdot5)(2\cdot5+1)}=\frac{1}{10\cdot11}=\frac{1}{110}.

Passo 5

Agora determino o comportamento quando n\to\infty. Note que todos os termos são positivos:
a_n>0\quad\text{para todo }n\ge1.
Compare a_n com uma sequência conhecida que tende a zero. Para n\ge1,
(2n)(2n+1)=4n^2+2n \ge 4n^2,
logo
0<a_n=\frac{1}{(2n)(2n+1)}\le\frac{1}{4n^2}.
Como \dfrac{1}{4n^2}\to0 quando n\to\infty, pelo princípio do confronto (squeeze) segue que
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Também se pode ver diretamente que a_n decresce para 0 porque o denominador cresce como n^2.

Passo 6

Resumo do que foi encontrado: os cinco primeiros termos foram calculados e a sequência é positiva, decrescente (em valor) e tende a zero, portanto converge.

Resposta

a_1=\dfrac{1}{6},\; a_2=\dfrac{1}{20},\; a_3=\dfrac{1}{42},\; a_4=\dfrac{1}{72},\; a_5=\dfrac{1}{110}\n
A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0.

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