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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada de $ \ln \left( \frac{x+1}{\sqrt{x-2}} \right) $. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação de funções logarítmicas e funções compostas. Precisaremos lembrar das propriedades dos logaritmos e das regras de derivação como a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo usando propriedades dos logaritmos. Sabemos que:
Aplicando isso à nossa função:
Passo 3
Agora, vamos simplificar ainda mais usando outra propriedade dos logaritmos, que é:
No nosso caso, $ \sqrt{x-2} $ é o mesmo que $ (x-2)^{1/2} $. Então:
Substituindo de volta na expressão:
Passo 4
Agora, vamos derivar cada termo separadamente. A derivada de $ \ln (x+1) $ em relação a $ x $ é:
E a derivada de $ \frac{1}{2} \ln (x-2) $ é:
Passo 5
Agora, juntando as derivadas dos dois termos, temos:
Resposta
A derivada de $ \ln \left( \frac{x+1}{\sqrt{x-2}} \right) $ em relação a $ x $ é: