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dd x ln x+1raizx-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada de $ \ln \left( \frac{x+1}{\sqrt{x-2}} \right) $. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação de funções logarítmicas e funções compostas. Precisaremos lembrar das propriedades dos logaritmos e das regras de derivação como a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo usando propriedades dos logaritmos. Sabemos que:
ln ( AB ) = ln A - ln B
Aplicando isso à nossa função:
ln ( x+1raizx-2 ) = ln (x+1) - ln ( raizx-2 )

Passo 3

Agora, vamos simplificar ainda mais usando outra propriedade dos logaritmos, que é:
ln (B^n) = n ln B
No nosso caso, $ \sqrt{x-2} $ é o mesmo que $ (x-2)^{1/2} $. Então:
raizx-2
Substituindo de volta na expressão:
(x-2)^1/2

Passo 4

Agora, vamos derivar cada termo separadamente. A derivada de $ \ln (x+1) $ em relação a $ x $ é:
ln (x+1)
E a derivada de $ \frac{1}{2} \ln (x-2) $ é:
x

Passo 5

Agora, juntando as derivadas dos dois termos, temos:
ddx ln ( x+1raizx-2 ) = 1x+1 - 12(x-2)

Resposta

A derivada de $ \ln \left( \frac{x+1}{\sqrt{x-2}} \right) $ em relação a $ x $ é:
ln ( x+1raizx-2 )

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