Encontre a equação da reta tangente à curva
em
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Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva $ y = \frac{e^{x}}{1 + x^{2}} $ no ponto $ P = \left(1, \frac{e}{2}\right) $. Para isso, vamos usar a derivada, que nos dá a inclinação da reta tangente em um ponto específico da curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ y’ $. Como $ y $ é uma função que envolve uma fração, vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente estabelece que se $ y = \frac{u}{v} $, então:
Passo 3
Identificamos as partes $ u $ e $ v $ da nossa função:
Agora, derivamos $ u $ e $ v $:
Passo 4
Aplicando a regra do quociente na nossa função:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada fica:
Passo 5
Agora, substituímos $ x = 1 $ na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto $ P $:
Isso significa que a inclinação da reta tangente no ponto $ P $ é 0, indicando que a reta é horizontal.
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto $ P = \left(1, \frac{e}{2}\right) $ é: