(2,0 pts) Encontre a equação da reta tangente à curva y=e^x /(1+x^2) em P=(1, epsilon2).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva $ y = \frac{e^{x}}{1 + x^{2}} $ no ponto $ P = \left(1, \frac{e}{2}\right) $. Para isso, vamos usar a derivada, que nos dá a inclinação da reta tangente em um ponto específico da curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ y’ $. Como $ y $ é uma função que envolve uma fração, vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente estabelece que se $ y = \frac{u}{v} $, então:
y

Passo 3

Identificamos as partes $ u $ e $ v $ da nossa função:
u
Agora, derivamos $ u $ e $ v $:
v é
u = e^x e v = 1 + x^2 é

Passo 4

Aplicando a regra do quociente na nossa função:
y' = e^x(1 + x^2) - e^x(2x)(1 + x^2)^2
Vamos simplificar o numerador:
e^x(1 + x^2 - 2x)
Então, a derivada fica:
y' = e^x(1 + x^2 - 2x)(1 + x^2)^2

Passo 5

Agora, substituímos $ x = 1 $ na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto $ P $:
x = 1
Isso significa que a inclinação da reta tangente no ponto $ P $ é 0, indicando que a reta é horizontal.

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto $ P = \left(1, \frac{e}{2}\right) $ é:
P = (1, e2)

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