x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-v^2) y=0, equação de Bessel
BLEMOS Em cada um dos Problemas de 1 a 10 , encontre a solução geral da equação diferencial dada.
  1. y^prime prime-2 y^prime+y=0

Passo 1

Estamos lidando com a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes y'' - 2y' + y = 0. Para resolvê-la, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Montamos a equação característica associada à ODE trocando y sim e^lambda x, o que gera
lambda^2 - 2lambda + 1 = 0

Passo 3

Resolvendo essa equação do segundo grau, temos
$$\lambda = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot1\cdot1}}{2} = \frac{2 \pm 0}{2} = 1,
$$
o que indica uma raiz dupla lambda = 2 pm raiz(-2)^2 - 4cdot1cdot12 = 2 pm 02 = 1, .

Passo 4

Quando a raiz da característica é dupla, a solução geral da ODE é dada por
$$y = C_1 e^{\lambda x} + C_2 x e^{\lambda x}.
$$
Substituindo y = C1 e^lambda x + C2 x e^lambda x , obtemos a solução geral.

Resposta

y = C_1 e^{x} + C_2 x e^{x}

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