Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede calcular
O conteúdo principal aqui é perceber que, quando
, o intervalo de integração
encolhe até um ponto, e podemos usar o Teorema do Valor Médio para integrais para entender o comportamento da expressão.
Passo 2
Primeiro notamos que, se
, então
e
Assim o numerador tende a
enquanto o fator
tende a
. Já se vê de cara que o limite será zero, mas vamos tornar isso mais rigoroso com o Teorema do Valor Médio.
Passo 3
Pelo Teorema do Valor Médio para integrais, existe
entre
e
tal que
Passo 4
Substituindo na expressão original, temos
Quando
, segue que
, logo
, e
Portanto o produto também tende a
.