[1,0] Calcule lim x 1 1x integral1^x^2 raiz1+t^100 d t.

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto11xintegral1^x^2raiz1+t^100,dt
O conteúdo principal aqui é perceber que, quando xto1, o intervalo de integração [1,x^2] encolhe até um ponto, e podemos usar o Teorema do Valor Médio para integrais para entender o comportamento da expressão.

Passo 2

Primeiro notamos que, se xto1, então x^2to1 e
integral1^x^2raiz1+t^100,dt;longrightarrow;integral1^1raiz1+t^100,dt = 0
Assim o numerador tende a 0 enquanto o fator 1/x tende a 1. Já se vê de cara que o limite será zero, mas vamos tornar isso mais rigoroso com o Teorema do Valor Médio.

Passo 3

Pelo Teorema do Valor Médio para integrais, existe xi entre 1 e x^2 tal que
integral1^x^2raiz1+t^100,dt = (x^2-1),raiz1+xi^100

Passo 4

Substituindo na expressão original, temos
1xintegral1^x^2raiz1+t^100,dt = x^2-1x;raiz1+xi^100
Quando xto1, segue que xito1, logo raiz1+xi^100toraiz2, e
x^2-1x = (x-1)(x+1)x ;longrightarrow; 0cdot21=0
Portanto o produto também tende a 0.

Resposta

0

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