Exercício 8. Resolva o problema de Dirichlet na região definida no semiplano e exterior ao semi-círculo:
Passo 1
O enunciado pede a solução de Laplace em coordenadas polares na região
com condições de contorno
e a exigência de que
u seja limitada quando
rtoinfty .
Para resolver, vamos usar separação de variáveis em coordenadas polares.
Para resolver, vamos usar separação de variáveis em coordenadas polares.
Passo 2
Suponha
Inserindo na equação
resulta em
As condições
Theta(0)=Theta(pi)=0 são homogêneas, e só existem soluções não-triviais se
com autofunções
Passo 3
Para cada
n , a equação radial fica
cuja solução geral é
Como queremos
u limitada para
rtoinfty , devemos eliminar o termo crescente
r^n . Logo, em cada modo escolhemos
Passo 4
A solução geral limitada é a soma dos modos
Na fronteira
r=1 impomos
Os coeficientes
An vêm da expansão em série de Fourier-seno em
(0,pi) :