Exercício 8. Resolva o problema de Dirichlet na região definida no semiplano e exterior ao semi-círculo:
l ur r+1r ur+1r^2 utheta theta=0, D:(r>1,0<theta<pi) u(r, 0)=u(r, pi)=0, (r>1) u(1, theta)=f(theta) |u| <= M para algum M (isto é, u é limitada) éé

Passo 1

O enunciado pede a solução de Laplace em coordenadas polares na região
D:;r>1,;0<theta<pi
com condições de contorno
u(r,0)=u(r,pi)=0(r>1), u(1,theta)=f(theta),
e a exigência de que u seja limitada quando rtoinfty.
Para resolver, vamos usar separação de variáveis em coordenadas polares.

Passo 2

Suponha
u(r,theta)=R(r),Theta(theta)
Inserindo na equação
urr+1r,ur+1r^2uthetatheta=0
resulta em
r^2R''+rR'R+Theta''Theta=0 ;Longrightarrow; Theta''Theta=-lambda, r^2R''+rR'-lambda R=0
As condições Theta(0)=Theta(pi)=0 são homogêneas, e só existem soluções não-triviais se
lambda=n^2, n=1,2,3,dots,
com autofunções
Thetan(theta)=sin(ntheta)

Passo 3

Para cada n, a equação radial fica
r^2R''+rR'-n^2R=0,
cuja solução geral é
R(r)=A,r^n + B,r^-n
Como queremos u limitada para rtoinfty, devemos eliminar o termo crescente r^n. Logo, em cada modo escolhemos
Rn(r)=r^-n

Passo 4

A solução geral limitada é a soma dos modos
u(r,theta) =sumn=1^inftyAn,r^-nsin(ntheta)
Na fronteira r=1 impomos
u(1,theta)=sumn=1^inftyAnsin(ntheta)=f(theta)
Os coeficientes An vêm da expansão em série de Fourier-seno em (0,pi):
An =2piintegral0^pif(varphi),sin(nvarphi),dvarphi

Resposta

boxed u(r,theta) =sumn=1^inftygl[2piintegral0^pif(varphi),sin(nvarphi),dvarphigr];r^-n,sin(ntheta)

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