[1] [2.5 pontos] Considere às matrizes a seguir:
A=[lll 1 & 0 & 1 3 & 3 & 3 0 & 1 & 3 ] e B=[lll 1 & 1 & 1 2 & 1 & 1 1 & 0 & 1 ]
(a) Calcule 5 A-(B)^T. (Justifique todos os passos.)
(b) Determine, caso exista, a matriz A^-1. (Justifique todos os passos.)

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = 1 & 0 & 13 & 3 & 30 & 1 & 3 e B = 1 & 1 & 12 & 1 & 11 & 0 & 1
e pede:
1. Calcular 5A - B^T (usa-se multiplicação escalar e transposição).
2. Determinar A^-1, se existir (usa-se determinante, cofatores e adjunta).

Passo 2

Calcular 5A multiplicando cada entrada de A por 5:
5A = 5cdot 1 & 0 & 13 & 3 & 30 & 1 & 3 = 5 & 0 & 515 & 15 & 150 & 5 & 15

Passo 3

Calcular a transposta de B, trocando linhas por colunas:
B^T = 1 & 1 & 12 & 1 & 11 & 0 & 1^T = 1 & 2 & 11 & 1 & 01 & 1 & 1

Passo 4

Subtrair matriz a matriz:
5A - B^T = 5 & 0 & 515 & 15 & 150 & 5 & 15 - 1 & 2 & 11 & 1 & 01 & 1 & 1 = 5-1 & 0-2 & 5-1 15-1 & 15-1 & 15-0 0-1 & 5-1 & 15-1 = 4 & -2 & 4 14 & 14 & 15 -1 & 4 & 14

Passo 5

Para achar A^-1, primeiro calculamos det(A). Expandindo pela primeira linha:
det(A) =1cdotl(3cdot3-3cdot1r) -0 +1cdotl(3cdot1-3cdot0r) =1cdot(9-3)+1cdot3 =6+3=9
Como det(A)=9neq0, A é invertível.

Passo 6

Agora obtemos a matriz de cofatores C, onde cada entrada Cij=(-1)^i+jdet(Mij), e Mij é o menor de A sem a linha i e coluna j. Calcula-se e obtém-se:
C = 6 & -9 & 3 1 & 3 & -1 -3 & 0 & 1

Passo 7

A adjunta de A é adj(A)=C^T. Logo,
adj(A) = 6 & 1 & -3 -9 & 3 & 0 3 & -1 & 1 ,
e
A^-1 =1det(A),adj(A) =19 6 & 1 & -3 -9 & 3 & 0 3 & -1 & 1 = tfrac23 & tfrac19 & -tfrac13 -1 & tfrac13 & 0 tfrac13 & -tfrac19 & tfrac19

Resposta

(a)
5A - B^T = 4 & -2 & 4 14 & 14 & 15 -1 & 4 & 14
(b)
A^-1 = tfrac23 & tfrac19 & -tfrac13 -1 & tfrac13 & 0 tfrac13 & -tfrac19 & tfrac19

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