[1.5] Conservação do momento angular: um pequeno disco de massa m é arremessado com velocidade v na direção de um cilindro oco de raios R_{2}>R_{1}, inicialmente parado, mas que pode girar sem atrito ao redor de seu centro de massa. Sendo o momento de inércia do cilindro de I=M\left(R_{2}^{2}+R_{1}^{2}\right) / 2 determine a freqência de oscilação \underline{\omega} do sistema depois do choque. (Considere queo torque sobre o sistema é zero durante todo o processo)
Passo 1
O enunciado pede a frequência de oscilação \underline{\omega} do sistema formado por um pequeno disco de massa m arremessado com velocidade v contra um cilindro oco (inic. em repouso) que pode girar sem atrito em torno do seu centro. Dados fornecidos:
I=M\frac{R_{2}^{2}+R_{1}^{2}}{2},
com R_{2}>R_{1}. Foi dito também: “Considere que o torque sobre o sistema é zero durante todo o processo” (ou seja, momento angular do sistema é conservado durante o choque). O que devemos fornecer é a frequência de oscilação \underline{\omega} do sistema após o choque.
Observação importante: o enunciado não especifica (a) em que raio o pequeno disco impacta/aderes (se atinge/situa em R_{1} ou R_{2} ou outro raio), (b) o tipo de colisão (elástica, inelástica, se o disco fica “grudado” no cilindro ou se rebate), e (c) qual é a origem do “restoring force/torque” que produziria oscilações (não foi dado nenhum elemento elástico ou força restauradora). Essas informações são cruciais para definir e calcular uma frequência de oscilação. Vou explicar por que e mostrar as consequências para os casos razoáveis.
Passo 2
Princípio físico que vale aqui (e que vou usar): quando o torque externo é nulo durante o choque, o momento angular total se conserva. A conservação do momento angular é a pedra angular do problema; escrevê‑la e aplicá‑la é sempre o primeiro passo. A fórmula geral é
L_{\text{inicial}}=L_{\text{final}}.
Se antes do choque apenas o disco está em movimento linear com velocidade v e atinge o cilindro tangencialmente a um raio R (o raio de contato — pode ser R_{1} ou R_{2} dependendo do ponto de impacto), o momento angular inicial em relação ao centro é
L_{\text{inicial}} = m v R.
Se após o choque o disco e o cilindro passam a girar com velocidades angulares \omega_{d} (do disco, se ele não ficar rigidamente preso) e \omega_{c} (do cilindro), o momento angular final é
L_{\text{final}} = I\,\omega_{c} + m R^{2}\,\omega_{d}.
No caso em que o disco adere ao cilindro (colisão perfeitamente inelástica angular, isto é, passam a girar solidariamente com a mesma velocidade angular \omega_{f}), a equação simplifica para
m v R = \left(I + m R^{2}\right)\omega_{f}.
Dessa igualdade obtemos imediatamente a velocidade angular comum após o choque:
\omega_{f}=\dfrac{m v R}{I + m R^{2}}.
Isto é puramente consequência da conservação do momento angular. Até aqui nada sobre “oscilações”: isto dá uma rotação constante depois do choque (se não houver outro mecanismo).
Passo 3
Explicando por que esta situação (colisão + adesão) NÃO gera oscilações por si só:
Se, depois do choque, disco e cilindro giram solidariamente com velocidade angular \omega_{f} determinada acima, não há troca periódica de energia entre modos; o sistema simplesmente gira com velocidade constante. Oscilação implica uma força (ou torque) restaurador que dependa da posição angular (por exemplo, uma mola torsional) e que faça o sistema executar movimento harmônico. Nenhuma mola torsional, nenhum atrito dependente de ângulo, nem qualquer outro elemento restaurador foi especificado no enunciado. Assim, sem informação adicional sobre um termo restaurador, não há base física para calcular uma frequência de oscilação.
Se, em vez de aderir, o disco rebate elásticamente e fica livre para movimentar‑se em relação ao cilindro, para que haja oscilações sustentadas ou amortecidas é necessário conhecer a natureza do contato (como forças de restituição e as geometrias cinemáticas). O enunciado não dá esses detalhes.
Passo 4
Lista de interpretações razoáveis e as fórmulas que se obtêm em cada uma (para você reconhecer qual caso o professor pediu — eu resolvo qualquer um deles se você confirmar depois):
Caso mais comum em provas (colisão perfeitamente inelástica — disco “gruda” no cilindro) e impacto tangencial a um raio R (tipicamente R=R_{2} se atinge a borda externa):
Conservação do momento angular dá a velocidade angular comum após o choque
\omega_{f}=\dfrac{m v R}{I + m R^{2}}.
Não há oscilação: o movimento é rotação uniforme. Portanto a “frequência de oscilação” é nula:
\underline{\omega}=0.
Comentei isso porque algumas pessoas confundem “velocidade angular” com “frequência de oscilação”. Se a questão queria a velocidade angular pós‑choque, a fórmula acima é a resposta correta.
Se houver um elemento restaurador torsional (uma mola que aplica um torque proporcional ao deslocamento angular) com constante de torção \kappa (unidade N·m/rad) ligado ao sistema após o choque, o momento de inércia efetivo do conjunto disco+cilindro é
I_{\text{eff}} = I + m R^{2},
e a frequência angular de pequenas oscilações seria a bem conhecida expressão do oscilador rotacional:
\underline{\omega} = \sqrt{\dfrac{\kappa}{I + m R^{2}}}.
Observação: aqui \kappa tem de ser fornecida pelo enunciado (ou derivada de um elemento linear de mola colocado a uma distância R, caso em que \kappa poderia ser k R^{2} para uma mola linear de constante k).
Se o disco não adere e há interações periódicas (rebotes) que levam a uma troca de momento angular entre disco e cilindro resultando em movimento oscilatório, a análise exige o modelo completo do choque (coeficiente de restituição, posição do impacto, tempo entre choques, etc.). Sem esses dados não é possível obter uma expressão única para \underline{\omega}.
Passo 5
Conservação do momento angular: quando o torque externo total em relação a um ponto é zero durante um intervalo, o momento angular total em relação a esse ponto é constante. Momento angular de uma partícula de massa m movendo‑se com velocidade linear v tangencial a um raio R é L=m v R. Para um corpo rígido que gira com velocidade angular \omega, o momento angular é L=I\omega, com I o momento de inércia.
Colisão perfeitamente inelástica angular (adesão): se duas partes passam a girar juntas, somamos os momentos de inércia para obter o momento de inércia total e aplicamos conservação de L.
Oscilação rotacional (pequenas oscilações): para um corpo de inércia I_{\text{eff}} submetido a um torque restaurador linear \tau=-\kappa \theta, a equação de movimento é I_{\text{eff}}\,\ddot{\theta} + \kappa\,\theta = 0. A frequência angular natural é \sqrt{\kappa/I_{\text{eff}}}.
Resposta
Não é possível determinar \underline{\omega} sem informação adicional sobre o tipo de colisão e sobre qualquer força (ou torque) restaurador que gere oscilações.
Se o disco adere ao cilindro ao raio R (colisão perfeitamente inelástica), a velocidade angular comum após o choque é
\omega_{f}=\dfrac{m v R}{I + m R^{2}},
mas isso corresponde a rotação uniforme (sem oscilações), logo
\underline{\omega}=0.
Se houver uma mola torsional de constante \kappa que produza o torque restaurador, a frequência de pequenas oscilações seria
\underline{\omega}=\sqrt{\dfrac{\kappa}{I + m R^{2}}},
onde R é o raio de atuação (por exemplo R=R_{2} se o disco ficar preso na borda externa).