[1.5] Equação do foguete: dada a equação do foguete sujeito à força da gravidade -m g :
m \dot{v}=-v_{e x p} \dot{m}-m g
determine: (a) a velocidade v(t) (considere que v_{0}=0 ) e (b) a posição y(t) do foguete em funçāo do tempo (considere y_{0}=0 ).

Passo 1

O enunciado fornece a equação do movimento do foguete sujeita à gravidade:
m\dot{v} = -v_{exp}\dot{m} - m g
e pede duas coisas:
  • (a) determinar a velocidade v(t) sabendo que v(0)=0;
  • (b) determinar a posição y(t) sabendo que y(0)=0.
Informações e condições dadas:
  • A equação diferencial acima vale para todo t considerado.
  • v_{exp} é a velocidade de exaustão dos gases (assumimos aqui constante).
  • m=m(t) é a massa do foguete como função do tempo; a equação envolve \dot{m}(t).
  • Condições iniciais: v(0)=0 e y(0)=0.
  • Não foi especificada a forma explícita de m(t); portanto uma solução geral em termos de m(t) será apresentada e, em seguida, uma forma explícita para o caso usual de vazão de massa constante.

Passo 2

Manipulando a equação para isolar \dot{v}. Divido ambos os lados por m (assumindo m(t)\neq0):
\dot{v} = -v_{exp}\,\frac{\dot{m}}{m} - g.
Explicando: dividir por m transforma a equação em uma forma onde \dot{v} aparece explicitamente. Isso facilita a integração no tempo.

Passo 3

Reconhecendo uma derivada conhecida. Sabemos a regra:
\frac{d}{dt}\big(\ln m(t)\big) = \frac{\dot{m}(t)}{m(t)}.
Ou seja, o termo \frac{\dot{m}}{m} é exatamente a derivada temporal de \ln m. Isso é útil porque a equação do passo anterior tem \frac{\dot{m}}{m}.

Passo 4

Integramos a equação em relação ao tempo. Reescrevendo:
\dot{v} = -v_{exp}\,\frac{d}{dt}\big(\ln m(t)\big) - g.
Integrando de 0 a t (ou integrando indefinite e impondo condição inicial) obtemos:
v(t) = -v_{exp}\ln m(t) - g t + C,
onde C é a constante de integração. Aqui usei que a integral de \frac{d}{dt}(\ln m) é \ln m e a integral de -g é -g t.

Passo 5

Determinar a constante de integração usando a condição inicial v(0)=0. Denotemos m_0 = m(0). Substituindo t=0 na expressão acima:
0 = -v_{exp}\ln m_0 - g\cdot 0 + C \quad\Rightarrow\quad C = v_{exp}\ln m_0.
Logo a solução para v(t) é
v(t) = v_{exp}\big(\ln m_0 - \ln m(t)\big) - g t.

Passo 6

Simplificando o logaritmo:
\ln m_0 - \ln m(t) = \ln\!\left(\frac{m_0}{m(t)}\right).
Portanto a expressão final para a velocidade é
v(t) = v_{exp}\ln\!\left(\frac{m_0}{m(t)}\right) - g t.
Interpretação física rápida: se \dot{m}<0 (massa diminuindo), então m(t)<m_0 e \ln(m_0/m(t))>0, o primeiro termo é positivo (empuxo), e o termo -g t representa a perda por gravidade acumulada no tempo.

Passo 7

Agora obtemos a posição integrando v(t). Como y(0)=0,
y(t) = \int_{0}^{t} v(s)\,ds = v_{exp}\int_{0}^{t}\ln\!\left(\frac{m_0}{m(s)}\right)ds - \int_{0}^{t} g s'\,ds'.
A integral do segundo termo é simples:
\int_{0}^{t} g s'\,ds' = \frac{1}{2} g t^2,
portanto a posição, em forma geral, é
y(t) = v_{exp}\int_{0}^{t}\ln\!\left(\frac{m_0}{m(s)}\right)ds - \frac{1}{2} g t^2.
Observação: sem uma expressão explícita para m(s) não podemos simplificar mais a integral do termo com \ln. Essa é a forma geral pedida.

Passo 8

(Extra — caso prático e muito usado:) se a vazão de massa é constante, escrevemos \dot{m} = -\mu com \mu>0. Então
m(t)=m_0-\mu t.
Nesse caso a integral da posição pode ser avaliada explicitamente. Primeiro calculemos
I(t)=\int_{0}^{t}\ln\!\left(\frac{m_0}{m_0-\mu s}\right)ds.
Faço a substituição u=m_0-\mu s, logo du=-\mu ds, e os limites: s=0\Rightarrow u=m_0, s=t\Rightarrow u=m_0-\mu t. Então
I(t)=\frac{1}{\mu}\int_{m_0-\mu t}^{m_0}\ln\!\left(\frac{m_0}{u}\right)du.
Calcule a primitiva:
\int \ln\!\left(\frac{m_0}{u}\right)du = u\Big(1+\ln\!\left(\frac{m_0}{u}\right)\Big) + C.
Avaliando entre os limites e simplificando obtém-se
I(t)=t - \frac{m_0-\mu t}{\mu}\ln\!\left(\frac{m_0}{m_0-\mu t}\right).
Portanto, para vazão constante, a posição explícita é
y(t) = v_{exp}\left[t - \frac{m_0-\mu t}{\mu}\ln\!\left(\frac{m_0}{m_0-\mu t}\right)\right] - \frac{1}{2} g t^2.
Esse resultado é útil em problemas práticos onde se conhece a taxa de consumo de massa \mu.

Resposta

(a) v(t)=v_{exp}\ln\!\left(\dfrac{m_0}{m(t)}\right)-g t
(b) y(t)=v_{exp}\displaystyle\int_{0}^{t}\ln\!\left(\dfrac{m_0}{m(s)}\right)ds-\dfrac{1}{2}g t^{2}

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