[1.5] Equação do foguete: dada a equação do foguete sujeito à força da gravidade
:
determine: (a) a velocidade
(considere que
) e (b) a posição
do foguete em funçāo do tempo (considere
).
Passo 1
O enunciado fornece a equação do movimento do foguete sujeita à gravidade:
e pede duas coisas:
- (a) determinar a velocidade
sabendo que ; - (b) determinar a posição
sabendo que .
Informações e condições dadas:
- A equação diferencial acima vale para todo
considerado. -
é a velocidade de exaustão dos gases (assumimos aqui constante). -
é a massa do foguete como função do tempo; a equação envolve . - Condições iniciais:
e . - Não foi especificada a forma explícita de
; portanto uma solução geral em termos de será apresentada e, em seguida, uma forma explícita para o caso usual de vazão de massa constante.
Passo 2
Manipulando a equação para isolar
. Divido ambos os lados por
(assumindo
):
Explicando: dividir por
transforma a equação em uma forma onde
aparece explicitamente. Isso facilita a integração no tempo.
Passo 3
Reconhecendo uma derivada conhecida. Sabemos a regra:
Ou seja, o termo
é exatamente a derivada temporal de
. Isso é útil porque a equação do passo anterior tem
.
Passo 4
Integramos a equação em relação ao tempo. Reescrevendo:
Integrando de
a
(ou integrando indefinite e impondo condição inicial) obtemos:
onde
é a constante de integração. Aqui usei que a integral de
é
e a integral de
é
.
Passo 5
Determinar a constante de integração usando a condição inicial
. Denotemos
. Substituindo
na expressão acima:
Logo a solução para
é
Passo 6
Simplificando o logaritmo:
Portanto a expressão final para a velocidade é
Interpretação física rápida: se
(massa diminuindo), então
e
, o primeiro termo é positivo (empuxo), e o termo
representa a perda por gravidade acumulada no tempo.
Passo 7
Agora obtemos a posição integrando
. Como
,
A integral do segundo termo é simples:
portanto a posição, em forma geral, é
Observação: sem uma expressão explícita para
não podemos simplificar mais a integral do termo com
. Essa é a forma geral pedida.
Passo 8
(Extra — caso prático e muito usado:) se a vazão de massa é constante, escrevemos
com
. Então
Nesse caso a integral da posição pode ser avaliada explicitamente. Primeiro calculemos
Faço a substituição
, logo
, e os limites:
,
. Então
Calcule a primitiva:
Avaliando entre os limites e simplificando obtém-se
Portanto, para vazão constante, a posição explícita é
Esse resultado é útil em problemas práticos onde se conhece a taxa de consumo de massa
.
Resposta
(a)
(b)