(2.0) Centro de Massa: determine o centro de massa de uma pirâmide de base quadrada imertida, altura h e lado do topo L.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o centro de massa de uma pirâmide de base quadrada invertida (ou seja, um sólido com uma face quadrada no topo e um vértice/apice abaixo), de altura h e com o lado do quadrado superior valendo L. Informações relevantes que temos:
  • A pirâmide é homogênea (densidade uniforme), portanto podemos usar densidade constante \rho.
  • A figura tem simetria axial em torno da reta que passa pelo centro do quadrado superior e pelo ápice (eixo vertical). Por simetria, o centro de massa está sobre esse eixo.
  • Precisamos encontrar a posição do centro de massa ao longo desse eixo. Vou escolher um sistema de referência simples: colocar a origem z=0 no plano do quadrado superior (o “topo”) e tomar o eixo z apontando para baixo até o ápice, que fica em z=h. Assim a incógnita que queremos é a coordenada z_{\text{cm}}.

Passo 2

Qual método usar? Por simetria, o centro de massa está no eixo z, então basta calcular a coordenada z_{\text{cm}}. Vou usar o método das fatias (discos/chapas horizontais): imaginamos fatias horizontais de espessura \mathrm{d}z a uma distância z do topo. Cada fatia é um quadrado semelhante ao quadrado superior, com área A(z). O centro de massa é dado por
z_{\text{cm}}=\frac{1}{M}\int_{0}^{h} z\,\mathrm{d}m(z),
onde M é a massa total e \mathrm{d}m(z)=\rho A(z)\,\mathrm{d}z. Vou calcular A(z), M e o numerador \int z\,\mathrm{d}m passo a passo.

Passo 3

Determinar a área da seção a uma altura z.
Pela semelhança de triângulos (as arestas da pirâmide fazem com o eixo uma redução linear das dimensões), o lado do quadrado na altura z escala linearmente de L em z=0 até 0 em z=h. Portanto o lado nessa altura é
s(z)=L\left(1-\frac{z}{h}\right).
A área da fatia é
A(z)=s(z)^2=L^2\left(1-\frac{z}{h}\right)^2.

Passo 4

Calcular a massa total M.
A massa de uma fatia é \mathrm{d}m=\rho A(z)\,\mathrm{d}z. Assim
M=\int_{0}^{h}\rho A(z)\,\mathrm{d}z=\rho L^2\int_{0}^{h}\left(1-\frac{z}{h}\right)^2\mathrm{d}z.
Faço a mudança de variável u=\dfrac{z}{h} (ou integro diretamente): com u\in[0,1] e \mathrm{d}z=h\,\mathrm{d}u,
M=\rho L^2 h \int_{0}^{1}(1-u)^2\mathrm{d}u.
Calculo a integral
\int_{0}^{1}(1-u)^2\mathrm{d}u=\int_{0}^{1}(1-2u+u^2)\mathrm{d}u=\Big[u-u^2+\frac{u^3}{3}\Big]_{0}^{1}=1-1+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.
Logo
M=\rho L^2 h\cdot\frac{1}{3}=\frac{\rho L^2 h}{3}.

Passo 5

Calcular o numerador \displaystyle \int_{0}^{h} z\,\mathrm{d}m(z)=\rho\int_{0}^{h} z A(z)\,\mathrm{d}z.
Substituindo A(z),
\int_{0}^{h} z A(z)\,\mathrm{d}z = L^2\int_{0}^{h} z\left(1-\frac{z}{h}\right)^2\mathrm{d}z.
De novo uso u=\dfrac{z}{h}, com z=h u e \mathrm{d}z=h\,\mathrm{d}u:
\int_{0}^{h} z\left(1-\frac{z}{h}\right)^2\mathrm{d}z = L^2 h^2 \int_{0}^{1} u(1-u)^2\mathrm{d}u.
Calculo a integral
\int_{0}^{1} u(1-u)^2\mathrm{d}u=\int_{0}^{1}(u-2u^2+u^3)\mathrm{d}u=\Big[\tfrac{u^2}{2}-\tfrac{2u^3}{3}+\tfrac{u^4}{4}\Big]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}-\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{12}.
Portanto
\int_{0}^{h} z A(z)\,\mathrm{d}z = L^2 h^2\cdot \frac{1}{12}=\frac{L^2 h^2}{12},
e multiplicando por \rho para obter o momento:
\int_{0}^{h} z\,\mathrm{d}m(z)=\rho\cdot\frac{L^2 h^2}{12}=\frac{\rho L^2 h^2}{12}.

Passo 6

Calcular z_{\text{cm}} e interpretar o resultado.
Usando
z_{\text{cm}}=\frac{1}{M}\int_{0}^{h} z\,\mathrm{d}m(z)
substituo M=\dfrac{\rho L^2 h}{3} e o numerador \dfrac{\rho L^2 h^2}{12}:
z_{\text{cm}}=\frac{\dfrac{\rho L^2 h^2}{12}}{\dfrac{\rho L^2 h}{3}}=\frac{h^2/12}{h/3}=\frac{h}{4}.
Portanto o centro de massa está sobre o eixo de simetria, a uma distância de \dfrac{h}{4} abaixo do quadrado superior (medida a partir de z=0 no topo). Equivalentemente, medido a partir do ápice (em z=h), a distância é \dfrac{3h}{4}.

Passo 7

Resumo didático rápido e motivacional: o resultado \dfrac{h}{4} em relação à base é o mesmo que vemos para cones e pirâmides regulares — o centro de massa fica mais perto da base do que do vértice. Você já tem a ideia: fatias semelhantes + integrais simples dão a resposta. Tá ficando bom — respira e confia!

Resposta

A distância do centro de massa ao quadrado superior (topo) é \dfrac{h}{4}.
A distância do centro de massa ao ápice (vértice) é \dfrac{3h}{4}.

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