(2.0) Centro de Massa: determine o centro de massa de uma pirâmide de base quadrada imertida, altura
e lado do topo
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine o centro de massa de uma pirâmide de base quadrada invertida (ou seja, um sólido com uma face quadrada no topo e um vértice/apice abaixo), de altura
e com o lado do quadrado superior valendo
. Informações relevantes que temos:
- A pirâmide é homogênea (densidade uniforme), portanto podemos usar densidade constante
. - A figura tem simetria axial em torno da reta que passa pelo centro do quadrado superior e pelo ápice (eixo vertical). Por simetria, o centro de massa está sobre esse eixo.
- Precisamos encontrar a posição do centro de massa ao longo desse eixo. Vou escolher um sistema de referência simples: colocar a origem
no plano do quadrado superior (o “topo”) e tomar o eixo apontando para baixo até o ápice, que fica em . Assim a incógnita que queremos é a coordenada .
Passo 2
Qual método usar? Por simetria, o centro de massa está no eixo
, então basta calcular a coordenada
. Vou usar o método das fatias (discos/chapas horizontais): imaginamos fatias horizontais de espessura
a uma distância
do topo. Cada fatia é um quadrado semelhante ao quadrado superior, com área
. O centro de massa é dado por
onde
é a massa total e
. Vou calcular
,
e o numerador
passo a passo.
Passo 3
Determinar a área da seção a uma altura
.
Pela semelhança de triângulos (as arestas da pirâmide fazem com o eixo uma redução linear das dimensões), o lado do quadrado na altura
escala linearmente de
em
até
em
. Portanto o lado nessa altura é
A área da fatia é
Passo 4
Calcular a massa total
.
A massa de uma fatia é
. Assim
Faço a mudança de variável
(ou integro diretamente): com
e
,
Calculo a integral
Logo
Passo 5
Calcular o numerador
.
Substituindo
,
De novo uso
, com
e
:
Calculo a integral
Portanto
e multiplicando por
para obter o momento:
Passo 6
Calcular
e interpretar o resultado.
Usando
substituo
e o numerador
:
Portanto o centro de massa está sobre o eixo de simetria, a uma distância de
abaixo do quadrado superior (medida a partir de
no topo). Equivalentemente, medido a partir do ápice (em
), a distância é
.
Passo 7
Resumo didático rápido e motivacional: o resultado
em relação à base é o mesmo que vemos para cones e pirâmides regulares — o centro de massa fica mais perto da base do que do vértice. Você já tem a ideia: fatias semelhantes + integrais simples dão a resposta. Tá ficando bom — respira e confia!
Resposta
A distância do centro de massa ao quadrado superior (topo) é
.
A distância do centro de massa ao ápice (vértice) é .
A distância do centro de massa ao ápice (vértice) é