[1, Ex.89, p.848] O elipsoide
intercepta o plano
em uma elipse. Determine as equações paramétricas da reta tangente à elipse no ponto (
).
Passo 1
O enunciado dá o elipsoide
e o plano
que se intersectam numa elipse. Queremos a reta tangente a essa elipse no ponto
. Para isso, vamos usar o fato de que a direção tangente é ortogonal ao gradiente de cada superfície, isto é, dada pelo produto vetorial dos dois vetores normais.
Passo 2
Definimos as duas superfícies como
O gradiente de cada uma fornece um vetor normal.
Passo 3
Calculemos os gradientes em
:
Passo 4
A direção da reta tangente é dada por
Podemos simplificar para
Passo 5
As equações paramétricas da reta com ponto
e direção
são