[1, Ex.89, p.848] O elipsoide 4 x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=16 intercepta o plano y=2 em uma elipse. Determine as equações paramétricas da reta tangente à elipse no ponto ( 1,2,2 ).

Passo 1

O enunciado dá o elipsoide
4x^{2}+2y^{2}+z^{2}=16
e o plano y=2 que se intersectam numa elipse. Queremos a reta tangente a essa elipse no ponto P=(1,2,2). Para isso, vamos usar o fato de que a direção tangente é ortogonal ao gradiente de cada superfície, isto é, dada pelo produto vetorial dos dois vetores normais.

Passo 2

Definimos as duas superfícies como
F_{1}(x,y,z)=4x^{2}+2y^{2}+z^{2}-16=0,
F_{2}(x,y,z)=y-2=0.
O gradiente de cada uma fornece um vetor normal.

Passo 3

Calculemos os gradientes em P=(1,2,2):
\nabla F_{1}(x,y,z)=(8x,\;4y,\;2z)\quad\Longrightarrow\quad\nabla F_{1}(1,2,2)=(8,\;8,\;4),
\nabla F_{2}(x,y,z)=(0,\;1,\;0).

Passo 4

A direção da reta tangente é dada por
v=\nabla F_{1}(1,2,2)\times\nabla F_{2}(1,2,2) =(8,8,4)\times(0,1,0)=(-4,0,8).
Podemos simplificar para
v=(-1,0,2).

Passo 5

As equações paramétricas da reta com ponto P e direção v são
\begin{cases} x=1- t,\\\ y=2,\\\ z=2+2t. \end{cases}

Resposta

x=1-t,\quad y=2,\quad z=2+2t.

Exercícios relacionados