Para a função abaixo, mostre que
, mas . Justifique porque ocorre este fenômeno.
[
f(x, y)=\left{ \begin{array}{cc}
\frac{x y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\
0, & \text { se }(x, y)=(0,0)
\end{array}
\right.
]
e pede para mostrar que \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(0,0)\neq \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(0,0).
O conteúdo é o cálculo de derivadas parciais de segunda ordem e a regra de Schwarz (Clairaut) que exige continuidade das derivadas mistas.]
Passo 2
Vamos primeiro calcular as derivadas parciais de primeira ordem em (0,0). Pela definição,
ou seja, as duas derivadas mistas não coincidem. Isso acontece porque, embora existam no ponto (0,0), elas não são contínuas em nenhuma vizinhança de (0,0). A condição de Schwarz (continuidade das derivadas mistas num entorno) falha, e por isso não vale a igualdade clássica.
Resposta
\displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(0,0)=1 \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(0,0)=0
Justifica-se que ocorre esse fenômeno pois as derivadas mistas não são contínuas em torno de (0,0), violando a hipótese do teorema de Schwarz.