Para a função abaixo, mostre que
, mas . Justifique porque ocorre este fenômeno.
[
f(x, y)=\left{
\begin{array}{cc} \frac{x y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}
\right.
]

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x\,y^{3}}{x^{2}+y^{2}},& (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para mostrar que \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(0,0)\neq \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(0,0).
O conteúdo é o cálculo de derivadas parciais de segunda ordem e a regra de Schwarz (Clairaut) que exige continuidade das derivadas mistas.]

Passo 2

Vamos primeiro calcular as derivadas parciais de primeira ordem em (0,0). Pela definição,
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0,
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) =\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} =\lim_{k\to0}\frac{0-0}{k}=0.

Passo 3

Agora obtemos \partial f/\partial x para pontos (0,y) com y\neq0. Pela definição, fixando y e derivando em x:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,y) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,y)-f(0,y)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\tfrac{h\,y^{3}}{h^{2}+y^{2}}-0}{h} =\lim_{h\to0}\frac{y^{3}}{h^{2}+y^{2}} =\frac{y^{3}}{y^{2}}=y.

Passo 4

Com isso, a derivada mista \partial_{xy}f(0,0) é
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(0,0) =\lim_{y\to0}\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0,y)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{y} =\lim_{y\to0}\frac{y-0}{y}=1.

Passo 5

Do mesmo modo, calculamos \partial f/\partial y ao longo de (x,0). Para x\neq0,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,0) =\lim_{k\to0}\frac{f(x,k)-f(x,0)}{k} =\lim_{k\to0}\frac{\tfrac{x\,k^{3}}{x^{2}+k^{2}}-0}{k} =\lim_{k\to0}\frac{x\,k^{2}}{x^{2}+k^{2}}=0.

Passo 6

Logo a derivada mista \partial_{yx}f(0,0) vale
\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(0,0) =\lim_{x\to0}\frac{\frac{\partial f}{\partial y}(x,0)-\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)}{x} =\lim_{x\to0}\frac{0-0}{x}=0.

Passo 7

Concluímos que
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(0,0)=1 \quad\text{e}\quad \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(0,0)=0,
ou seja, as duas derivadas mistas não coincidem. Isso acontece porque, embora existam no ponto (0,0), elas não são contínuas em nenhuma vizinhança de (0,0). A condição de Schwarz (continuidade das derivadas mistas num entorno) falha, e por isso não vale a igualdade clássica.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(0,0)=1 \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}(0,0)=0
Justifica-se que ocorre esse fenômeno pois as derivadas mistas não são contínuas em torno de (0,0), violando a hipótese do teorema de Schwarz.

Exercícios relacionados