Mostre que a função definida abaixo possui derivadas parciais em ( 0,0 ) mas não é contínua neste ponto.
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}},& (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,& (x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para mostrar que as derivadas parciais em (0,0) existem, mas que f não é contínua ali.
Conteúdo envolvido: definição de derivada parcial (limite de quociente de diferença ao longo de um eixo) e critério de continuidade em um ponto (limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) deve coincidir com f(0,0)).]

Passo 2

Calcular \partial_{x}f(0,0) pela definição
\partial_{x}f(0,0) = \lim_{h\to0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Para y=0 e h\neq0 temos
f(h,0)=\frac{h\cdot0}{h^{2}+0^{2}}=0,
então
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\frac{0-0}{h}=0.
Logo
\partial_{x}f(0,0)=0.

Passo 3

De modo análogo,
\partial_{y}f(0,0) = \lim_{k\to0} \frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}.
Para x=0 e k\neq0 vem
f(0,k)=\frac{0\cdot k}{0^{2}+k^{2}}=0,
portanto
\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} =\frac{0-0}{k}=0,
e
\partial_{y}f(0,0)=0.
Isso mostra que ambas as derivadas parciais existem em (0,0) e valem zero.

Passo 4

Para testar continuidade em (0,0) precisamos ver se \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=0.
Considere a reta y=x. Para x\neq0,
f(x,x)=\frac{x\cdot x}{x^{2}+x^{2}} =\frac{x^{2}}{2x^{2}} =\frac12.
Logo
\lim_{x\to0}f(x,x)=\frac12\neq0.
Isso prova que \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) não existe (ou não é zero), ou seja, f não é contínua em (0,0).

Resposta

As derivadas parciais em (0,0) existem e valem
\partial_{x}f(0,0)=0, \quad \partial_{y}f(0,0)=0,
mas f não é contínua em (0,0) pois, por exemplo, \lim_{x\to0}f(x,x)=\tfrac12\neq0.

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