[1,5 pt.] 1) Calcule e derivada direcional de f(x, y, z)=x y^2z na direção normal (para cima) à superfície z=x^2-2 y^2, no ponto Q=(2,1,2).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função f(x,y,z)=x,y^2z e a superfície definida por z=x^2-2y^2. Precisamos calcular a derivada direcional de f na direção do vetor normal apontando para cima a essa superfície no ponto Q=(2,1,2). Para isso usaremos o gradiente de f e o gradiente da função implícita da superfície para obter o vetor normal.

Passo 2

O gradiente de f é dado por nabla f=(partialxf,partialyf,partialzf). Calculamos:
partialxf=y^2z, partialyf=2x,yz, partialzf=-x,y^2z^2
No ponto Q=(2,1,2) isso vale
partialxf(Q)=12, partialyf(Q)=2, partialzf(Q)=-12,
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nabla f(Q)=l(tfrac12,2,-tfrac12r)

Passo 3

Escrevemos a superfície como G(x,y,z)=x^2-2y^2-z=0. O vetor normal a essa superfície é nabla G=(2x,-4y,-1). No ponto Q temos
nabla G(Q)=(4,-4,-1)
Como queremos a normal apontando para cima, escolhemos o vetor -nabla G(Q)=(-4,4,1), cujo componente em z é positivo.

Passo 4

O vetor unitário na direção do normal para cima é
u=-nabla G(Q)|nabla G(Q)| =(-4,4,1)raiz(-4)^2+4^2+1^2 =(-4,4,1)raiz33
A derivada direcional de f na direção u é
Duf(Q)=nabla f(Q)cdot u =l(tfrac12,2,-tfrac12r)cdot(-4,4,1)raiz33 =-2+8-tfrac12raiz33 =tfrac112raiz33 =112raiz33

Resposta

112raiz33

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