Calcule os limites a seguir:
(a)
lim x 0 x sen 1x
(b)
lim x -infty[e^x sen x]
(c)
lim x 0^+[x^3(4-cos x^-2)+e^xx]
(d)
lim x +infty[2+5 x^31-3 x^7 cos (ln x)]
(e)
lim x +infty[sen(x^2+x+11+2 x) cos (pi x^3+x^2-32-x+2 x^3)]

Passo 1

O enunciado pede para calcular cinco limites envolvendo funções oscilatórias e exponenciais. Vamos usar:
  1. Teorema do Confronto (squeeze theorem) para produtos de termo que tende a zero e função limitada.
  2. Comportamento de e^x quando xtopminfty.
  3. Comparações assintóticas e expansão para identificar limites infinitos ou nulos.

Passo 2

Calculando (a) limxto0 xsin1x.
Como sin(1/x) satisfaz -1<=sin(1/x)<=1, temos
-|x|;<=;xsin1x;<=;|x|
E como limxto0|x|=0, pelo Teorema do Confronto
limxto0xsin1x=0

Passo 3

Calculando (b) limxto-inftye^xsin x.
Temos |e^xsin x|<= e^x e limxto-inftye^x=0.
Pelo Teorema do Confronto segue
limxto-inftye^xsin x=0

Passo 4

Calculando (c) limxto0^+l[x^3l(4-cos x^-2r)+e^xxr].
  1. Note que cos(x^-2) oscila entre -1 e 1, logo 4-cos(x^-2) está entre 3 e 5. Assim
0<= x^3l(4-cos x^-2r)<=5x^3 Longrightarrow limxto0^+x^3l(4-cos x^-2r)=0
  1. Para dfrace^xx com xto0^+, usamos expansão e^x=1+x+o(x), então
e^xx=1+x+o(x)x=1x+1+o(1)to+infty
Somando os dois termos, o segundo domina e o limite é +infty.

Passo 5

Calculando (d) limxto+infty2+5x^31-3x^7cos(ln x).
O quociente racional tem grau maior no denominador, de modo que
2+5x^31-3x^7sim5x^3-3x^7=-53,x^-4to0
Como cos(ln x) é limitado entre -1 e 1, pelo Teorema do Confronto o produto tende a 0:
limxto+infty2+5x^31-3x^7cos(ln x)=0

Passo 6

Calculando (e) limxto+inftysin!l(x^2+x+11+2xr);cos!l(pi x^3+x^2-32 - x +2x^3r).
  1. Para o cosseno, note que
pi x^3+x^2-32 - x +2x^3 =pi x^3l(1+O(1/x)r)2x^3l(1+O(1/x^2)r) =pi2+Ol(tfrac1xr),
logo cosl(dotsr)tocos(pi/2)=0.
2. A função sin permanece limitada em [-1,1].
Portanto o produto tende a zero:
limxto+inftysin(dots),cos(dots)=0

Resposta

(a) 0
(b) 0
(c) +infty
(d) 0
(e) 0

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