Calcule os limites a seguir:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para calcular cinco limites envolvendo funções oscilatórias e exponenciais. Vamos usar:
- Teorema do Confronto (squeeze theorem) para produtos de termo que tende a zero e função limitada.
- Comportamento de
quando . - Comparações assintóticas e expansão para identificar limites infinitos ou nulos.
Passo 2
Calculando (a)
.
Como satisfaz
, temos
Como
E como
, pelo Teorema do Confronto
Passo 3
Calculando (b)
.
Temos e
.
Pelo Teorema do Confronto segue
Temos
Pelo Teorema do Confronto segue
Passo 4
Calculando (c)
.
- Note que
oscila entre e , logo está entre e . Assim
- Para
com , usamos expansão , então
Somando os dois termos, o segundo domina e o limite é
.
Passo 5
Calculando (d)
.
O quociente racional tem grau maior no denominador, de modo que
O quociente racional tem grau maior no denominador, de modo que
Como
é limitado entre
e
, pelo Teorema do Confronto o produto tende a 0:
Passo 6
Calculando (e)
.
- Para o cosseno, note que
logo
.
2. A função permanece limitada em
.
Portanto o produto tende a zero:
2. A função
Portanto o produto tende a zero:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)