Encontre X(s) e Y(s) do seguinte sistema 2 times 2 de Equações diferenciais com condições iniciais :
x^prime(t) equiv & 6 x(t)-37 y(t) y^prime(t) equiv & x(t)-6 y(t) com CI's: & x(0)=1 ; y(0)=1

Passo 1

Temos o sistema de EDOs
x'(t) = 6,x(t) - 37,y(t), y'(t) = x(t) - 6,y(t),
com condições iniciais x(0)=1 e y(0)=1.
O objetivo é aplicar a Transformada de Laplace em cada equação, usar
Lx'(t) = sX(s) - x(0), Ly'(t) = sY(s) - y(0),
e resolver o sistema resultante para X(s) e Y(s).

Passo 2

Fazendo a Laplace em x'(t)=6x(t)-37y(t) e usando x(0)=1, obtemos
s,X(s) - 1 = 6,X(s) - 37,Y(s)
Em y'(t)=x(t)-6y(t) com y(0)=1, obtemos
s,Y(s) - 1 = X(s) - 6,Y(s)

Passo 3

Reescrevendo as duas equações em forma padrão:
(s - 6),X(s) + 37,Y(s) = 1, -,X(s) + (s + 6),Y(s) = 1

Passo 4

Da segunda equação isolamos X(s):
-,X(s) + (s+6),Y(s) = 1 Longrightarrow X(s) = (s+6),Y(s) - 1
Substituindo em (s-6)X + 37Y = 1,
(s-6)l((s+6)Y(s)-1r) + 37,Y(s) = 1 ;Longrightarrow; (s^2-36 + 37),Y(s) - (s-6) = 1,
ou seja
(s^2 + 1),Y(s) = s - 5 Longrightarrow Y(s) = s - 5s^2 + 1

Passo 5

Agora calculamos X(s) usando X(s) = (s+6),Y(s) - 1:
X(s) = (s+6),s-5s^2+1 ;-; 1 = s^2 + s - 30s^2 + 1 ;-; s^2 + 1s^2 + 1 = s - 31s^2 + 1

Resposta

X(s) = s - 31s^2 + 1, Y(s) = s - 5s^2 + 1

Exercícios relacionados