[1], 8.9 Em um canal retangular com 1,80 \mathrm{~m} de largura ocorre o escoamento com profundidade de 0,80 \mathrm{~m} e velocidade de 1,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determinar qual a profundidade de escoamento em uma seção do canal onde se observa um estreitamento gradual para 1,50 \mathrm{~m} de largura, supondo ausência de perda de carga.

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento uniforme num canal retangular de largura inicial b_1 = 1{,}80\\ \mathrm{m}, profundidade y_1 = 0{,}80\\ \mathrm{m} e velocidade v_1 = 1{,}00\\ \mathrm{m/s}. A largura passa a ser b_2 = 1{,}50\\ \mathrm{m} sem perda de carga. O conteúdo é conservação de vazão e energia específica:
– Vazão Q constante.
– Energia específica E = y + \dfrac{v^2}{2g} constante (sem atrito).

Passo 2

Calculamos a vazão Q na seção 1 pela definição de vazão volumétrica:
Q = b_1\,y_1\,v_1 = 1{,}80 \times 0{,}80 \times 1{,}00 = 1{,}44\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 3

Determinamos a energia específica na seção 1:
E_1 = y_1 + \frac{v_1^2}{2g} = 0{,}80 + \frac{1{,}00^2}{2 \times 9{,}81} \approx 0{,}80 + 0{,}05097 = 0{,}85097\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Na seção 2 a velocidade é
v_2 = \frac{Q}{b_2\,y_2}
e a energia específica
E_2 = y_2 + \frac{v_2^2}{2g} = y_2 + \frac{1}{2g}\Bigl(\frac{Q}{b_2\,y_2}\Bigr)^2.

Passo 5

Impondo E_2 = E_1:
y_2 + \frac{Q^2}{2g\,b_2^2\,y_2^2} = E_1.
Multiplicando por y_2^2:
E_1\,y_2^2 = y_2^3 + \frac{Q^2}{2g\,b_2^2},
isto é a equação cúbica
y_2^3 - E_1\,y_2^2 + \frac{Q^2}{2g\,b_2^2} = 0.
Substituindo números:
y_2^3 - 0{,}85097\,y_2^2 + 0{,}04699 = 0.

Passo 6

Resolvendo numericamente acham-se raízes positivas aproximadas y_2 \approx 0{,}284\\ \mathrm{m} e y_2 \approx 0{,}772\\ \mathrm{m}. O escoamento inicial é subcrítico F_1<1, portanto permanece subcrítico após o estreitamento e toma-se a raiz maior:
y_2 \approx 0{,}772\\ \mathrm{m}.

Resposta

A profundidade no trecho de largura 1,50\\ \mathrm{m} é aproximadamente 0,77\\ \mathrm{m}.

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