Um canal retangular, com largura da base de 6 m , declividade de 0,02 \mathrm{~m} / \mathrm{m}, revestido em concreto liso, transporta 30 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Qual a profundidade normal do fluxo? Qual o regime de escoamento?

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento uniforme (profundidade normal) em um canal retangular de base b=6\;\text{m}, declividade S_0=0{,}02 e revestimento em concreto liso. A vazão é Q=30\;\text{m}^3/\text{s}. Para determinar a profundidade normal vamos usar a fórmula de Manning para escoamento uniforme:
Q = \frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S_0^{1/2},
onde n é o coeficiente de rugosidade de Manning (para concreto liso adotamos n=0{,}013), A é a área da seção molhada e R o raio hidráulico.

Passo 2

Expressamos a área e o raio hidráulico em função da profundidade y:
A = b\,y = 6\,y,
P = b + 2\,y = 6 + 2\,y,
R = \frac{A}{P} = \frac{6\,y}{6 + 2\,y}.
Substituindo em Manning:
Q = \frac{1}{0{,}013}\;(6y)\;\Bigl(\frac{6y}{6+2y}\Bigr)^{2/3}\;S_0^{1/2}.
Como S_0^{1/2} = \sqrt{0{,}02}\approx0{,}1414 e 1/0{,}013\approx76{,}92, obtemos a equação a resolver numericamente:
30 = 76{,}92\cdot6\,y\;\Bigl(\frac{6y}{6+2y}\Bigr)^{2/3}\cdot0{,}1414.

Passo 3

Fazendo simplificações, definimos a função
f(y) = 65{,}26\,y\;\Bigl(\frac{6y}{6+2y}\Bigr)^{2/3} - 30
e buscamos y tal que f(y)=0. Por tentativa e iteração simples:
  • para y=0{,}5\;\text{m}, f(y)\approx -11{,}5 (muito baixo);
  • para y=1{,}0\;\text{m}, f(y)\approx +23{,}9 (muito alto).
    Refinando entre esses valores, achamos por interpolação e nova iteração
y \approx 0{,}68\;\text{m}.

Passo 4

Para classificar o regime de escoamento calculamos o número de Froude:
V = \frac{Q}{A} = \frac{30}{6\cdot0{,}68}\approx7{,}35\;\text{m/s},
D_h = \frac{A}{T} = \frac{6\,y}{6} = y = 0{,}68\;\text{m},
Fr = \frac{V}{\sqrt{g\,D_h}} = \frac{7{,}35}{\sqrt{9{,}81\cdot0{,}68}}\approx2{,}85.
Como Fr>1, o escoamento é supercrítico.

Resposta

A profundidade normal é aproximadamente 0{,}68\;\text{m}.
O regime de escoamento é supercrítico Fr\approx2{,}85>1.

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