8.7 Um canal retangular com largura de 50 m transporta uma vazão de 200 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} com uma profundidade de escoamento inicial de 2 m . Após uma mudança de declividade, a profundidade passa a ser de 0,60 \mathrm{~m}. Supondo ausência de perda de carga, pede-se:
a) construir a curva da energia específica;
b) determinar a energia critica;
c) determinar a energia específica no segundo trecho.

Passo 1

O enunciado dá um canal retangular de largura b=50\\ \mathrm{m} transportando vazão Q=200\\ \mathrm{m^3/s}. A profundidade inicial é y_1=2\\ \mathrm{m} e, após mudança de declividade (sem perdas), a profundidade passa a y_2=0,60\\ \mathrm{m}. O conteúdo aqui é energia específica em escoamento livre, cujo perfil é dado pela relação entre a profundidade y e a energia específica E.

Passo 2

A energia específica num canal retangular é
E(y)=y+\frac{Q^2}{2g\,A(y)^2},
onde A(y)=b\,y. Definindo a vazão por largura q=Q/b, fica
E(y)=y+\frac{q^2}{2g\,y^2}.
Essa curva E versus y tem um mínimo em y=y_c, cresce para y<y_c (regime supercrítico) e para y>y_c (regime subcrítico).

Passo 3

O ponto crítico satisfaz \dfrac{dE}{dy}=0. Calculamos
\frac{dE}{dy}=1-\frac{q^2}{g\,y^3}=0 \quad\Longrightarrow\quad y_c=\Bigl(\frac{q^2}{g}\Bigr)^{\!1/3}.
Aqui q=Q/b=200/50=4\\ \mathrm{m^2/s} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, então
y_c=\bigl(16/9{,}81\bigr)^{1/3}\approx1{,}17\\ \mathrm{m}.

Passo 4

A energia crítica é E_c=E(y_c). Substituindo,
E_c=y_c+\frac{q^2}{2g\,y_c^2} \approx1{,}17 + \frac{16}{2\cdot9{,}81\cdot(1{,}17)^2} \approx1{,}77\\ \mathrm{m}.

Passo 5

No segundo trecho a profundidade é y_2=0{,}60\\ \mathrm{m}. Assim,
E_2=E(y_2)=0{,}60 + \frac{16}{2\cdot9{,}81\cdot(0{,}60)^2} \approx0{,}60 + 2{,}27 \approx2{,}87\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) A curva da energia específica é dada por
E(y)=y+\frac{q^2}{2g\,y^2},\quad q=4\\ \mathrm{m^2/s},
com mínimo em y_c.
(b) Energia crítica E_c\approx1{,}77\\ \mathrm{m}.
(c) Energia específica no segundo trecho E_2\approx2{,}87\\ \mathrm{m}.

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