[1.] Determinar as curvas integrais das EDOs,
\left(3 x^{2}+y^{2}\right) d x+2 x y d y=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar as curvas integrais da equação diferencial
\left(3 x^{2}+y^{2}\right)\,dx+2 x y\,dy=0.
Informações dadas:
  • A equação está escrita na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, com M(x,y)=3x^{2}+y^{2},\qquad N(x,y)=2xy.
  • O objetivo é encontrar a família de curvas implícitas (ou explícitas quando possível) que satisfazem essa relação diferencial.

Passo 2

Identificar se a equação é exata. Vou explicar o que é uma equação exata de forma simples: uma equação diferencial na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0
é exata se existir uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad\frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
Uma forma prática de testar exatidão é calcular as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y}\quad\text{e}\quad\frac{\partial N}{\partial x}
e verificar se são iguais (num domínio onde as funções são contínuas). Se forem iguais, a equação é exata.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais (pegando M e N que listamos no Passo 1):
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(3x^{2}+y^{2}\big)=2y,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(2xy\big)=2y.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=2y, a equação é exata. Isso significa que existe \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N.

Passo 4

Encontrar a função potencial \Phi(x,y). Para isso, integro M(x,y) em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int\big(3x^{2}+y^{2}\big)\,dx=\int 3x^{2}\,dx+\int y^{2}\,dx.
Calculo cada integral:
\int 3x^{2}\,dx=x^{3},\qquad \int y^{2}\,dx = x\,y^{2},
portanto, obtém-se
\Phi(x,y)=x^{3}+x\,y^{2}+g(y),
onde g(y) é uma função arbitrária de y (apareceu porque ao integrar em x a “constante” de integração pode depender de y).

Passo 5

Determinar g(y) usando a condição \Phi_y=N. Calculo \Phi_y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}+x y^{2}+g(y)\big)=2x y+g'(y).
Essa derivada deve ser igual a N(x,y)=2x y. Igualando,
2x y+g'(y)=2x y\quad\Rightarrow\quad g'(y)=0.
Daí g(y) é constante. Chamo essa constante de \,C (constante arbitrária).

Passo 6

Escrever a solução geral implícita: como \Phi(x,y)=x^{3}+x y^{2}+C e as curvas integrais são os níveis de \Phi, a família de soluções é
x^{3}+x y^{2}=C,
ou, de forma equivalente,
x\big(x^{2}+y^{2}\big)=C,
onde C é uma constante real arbitrária.

Passo 7

Anotar observações úteis para a prova (para você se recuperar se esquecer algo):
  • Para x\neq 0 pode-se tornar explícito y em termos de x: y^{2}=\frac{C-x^{3}}{x}\quad\text{e}\quad y=\pm\sqrt{\frac{C-x^{3}}{x}},desde que o quociente dentro da raiz seja não negativo.
  • O caso C=0 merece atenção: a equação x(x^{2}+y^{2})=0 implica x=0 (para qualquer y) ou x^{2}+y^{2}=0 (o que dá apenas o ponto (0,0)). Assim, a reta vertical x=0 corresponde à solução associada a C=0 (curva integral com tangente vertical). Isso é consistente com a equação original, que permite dx=0 quando x=0.

Resposta

x^{3}+x y^{2}=C

Exercícios relacionados