[1.] Determinar as curvas integrais das EDOs,
Passo 1
O enunciado pede: determinar as curvas integrais da equação diferencial
Informações dadas:
- A equação está escrita na forma
, com - O objetivo é encontrar a família de curvas implícitas (ou explícitas quando possível) que satisfazem essa relação diferencial.
Passo 2
Identificar se a equação é exata. Vou explicar o que é uma equação exata de forma simples: uma equação diferencial na forma
é exata se existir uma função potencial
tal que
Uma forma prática de testar exatidão é calcular as derivadas parciais
e verificar se são iguais (num domínio onde as funções são contínuas). Se forem iguais, a equação é exata.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (pegando
e
que listamos no Passo 1):
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe
tal que
e
.
Passo 4
Encontrar a função potencial
. Para isso, integro
em relação a
, tratando
como constante:
Calculo cada integral:
portanto, obtém-se
onde
é uma função arbitrária de
(apareceu porque ao integrar em
a “constante” de integração pode depender de
).
Passo 5
Determinar
usando a condição
. Calculo
:
Essa derivada deve ser igual a
. Igualando,
Daí
é constante. Chamo essa constante de
(constante arbitrária).
Passo 6
Escrever a solução geral implícita: como
e as curvas integrais são os níveis de
, a família de soluções é
ou, de forma equivalente,
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 7
Anotar observações úteis para a prova (para você se recuperar se esquecer algo):
- Para
pode-se tornar explícito em termos de : desde que o quociente dentro da raiz seja não negativo. - O caso
merece atenção: a equação implica (para qualquer ) ou (o que dá apenas o ponto ). Assim, a reta vertical corresponde à solução associada a (curva integral com tangente vertical). Isso é consistente com a equação original, que permite quando .