Encontre todas as soluções das seguintes EDOs,
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todas as soluções da equação diferencial
Informações dadas:
- A função incógnita é
. - O coeficiente de
é . - O termo independente (lado direito) é
. - Deve-se obter a família de soluções gerais (com constante arbitrária).
Passo 2
Vamos escolher um método. A equação está escrita na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
onde aqui
e
.
Explicando a técnica que vamos usar (integrating factor / fator integrante):
- Para uma EDO
define-se o fator integrante por
- A razão: multiplicando a equação por
obtemos
e, como
, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Assim fica
o que facilita integrar e obter
.
Passo 3
Calcular o fator integrante para o nosso caso:
Justificativa curta:
, por isso
.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Pelo motivo explicado, o lado esquerdo é
, pois
Logo
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Para calcular a integral, fazemos a substituição
. Então
. A integral vira
Agora integramos por partes (ou usamos a fórmula conhecida):
Voltando para
(
):
Passo 6
Substituindo na relação obtida no Passo 5:
onde agora
absorve a constante
. Dividindo por
(que nunca é zero),
Comentário didático adicional (para aprender a reconhecer a estrutura das soluções):
- A parte
é uma solução particular da EDO não-homogênea. - A parte
é a solução geral da equação homogênea correspondente , que se obtém por separação de variáveis: