Encontre todas as soluções das seguintes EDOs,
y^{\prime}+(\cos x) y=\operatorname{sen} x \cos x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as soluções da equação diferencial
y'+(\cos x)\,y=\operatorname{sen} x\cos x.
Informações dadas:
  • A função incógnita é y(x).
  • O coeficiente de y é \cos x.
  • O termo independente (lado direito) é \operatorname{sen} x\cos x.
  • Deve-se obter a família de soluções gerais (com constante arbitrária).

Passo 2

Vamos escolher um método. A equação está escrita na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
y'+p(x)\,y=q(x),
onde aqui p(x)=\cos x e q(x)=\operatorname{sen} x\cos x.
Explicando a técnica que vamos usar (integrating factor / fator integrante):
  • Para uma EDO y'+p(x)y=q(x) define-se o fator integrante \mu(x) por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
  • A razão: multiplicando a equação por \mu obtemos
\mu y' + \mu p y = \mu q,
e, como \mu'=\mu p, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto (\mu y)'. Assim fica
(\mu y)'=\mu q,
o que facilita integrar e obter y.

Passo 3

Calcular o fator integrante para o nosso caso:
\mu(x)=\exp\!\Big(\int \cos x\,dx\Big)=\exp(\sin x)=e^{\sin x}.
Justificativa curta: \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x, por isso \int\cos x\,dx=\sin x.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{\sin x}:
e^{\sin x}y' + e^{\sin x}\cos x\,y = e^{\sin x}\operatorname{sen} x\cos x.
Pelo motivo explicado, o lado esquerdo é (e^{\sin x}y)', pois
\frac{d}{dx}\big(e^{\sin x}\big)=e^{\sin x}\cos x.
Logo
\big(e^{\sin x}y\big)' = e^{\sin x}\operatorname{sen} x\cos x.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^{\sin x}y = \int e^{\sin x}\operatorname{sen} x\cos x\,dx + C,
onde C é a constante de integração.
Para calcular a integral, fazemos a substituição u=\operatorname{sen} x. Então du=\cos x\,dx. A integral vira
\int e^{\sin x}\operatorname{sen} x\cos x\,dx = \int u e^{u}\,du.
Agora integramos por partes (ou usamos a fórmula conhecida):
\int u e^{u}\,du = u e^{u} - \int e^{u}\,du = (u-1)e^{u} + \tilde{C}.
Voltando para x ( u=\operatorname{sen} x):
\int e^{\sin x}\operatorname{sen} x\cos x\,dx = (\operatorname{sen} x -1)e^{\sin x} + \tilde{C}.

Passo 6

Substituindo na relação obtida no Passo 5:
e^{\sin x}y = (\operatorname{sen} x -1)e^{\sin x} + C,
onde agora C absorve a constante \tilde{C}. Dividindo por e^{\sin x} (que nunca é zero),
y = \operatorname{sen} x -1 + C e^{-\sin x}.
Comentário didático adicional (para aprender a reconhecer a estrutura das soluções):
  • A parte y_p(x)=\operatorname{sen} x -1 é uma solução particular da EDO não-homogênea.
  • A parte y_h(x)=C e^{-\sin x} é a solução geral da equação homogênea correspondente y'+\cos x\,y=0, que se obtém por separação de variáveis:
\frac{dy}{y}=-\cos x\,dx\quad\Rightarrow\quad \ln|y|=-\sin x + \text{const}\quad\Rightarrow\quad y=C e^{-\sin x}.

Resposta

y(x)=\operatorname{sen} x -1 + C\,e^{-\sin x}

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