Encontre todas as soluções das seguintes EDOs,
y^{\prime}+2 x y=x e^{-x^{2}}\

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial ordinária de primeira ordem
y'+2x\,y = x\,e^{-x^{2}}.
O que se pede: encontrar todas as soluções (ou seja, a solução geral).
Informações dadas importantes:
  • A equação está escrita em termos de y'(x) e y(x).
  • O coeficiente de y é 2x.
  • O termo independente (lado direito) é x e^{-x^{2}}.

Passo 2

Identificar a forma padrão e a técnica apropriada (aqui só estou identificando, sem resolver ainda). A equação tem a forma linear de primeira ordem
y' + p(x)\,y = q(x),
com p(x)=2x e q(x)=x e^{-x^{2}}. Para esse tipo de equação a técnica direta e prática é o fator integrante (integrating factor). A ideia do fator integrante é multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(x)\,y. Essa \mu(x) é dada por
\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x). Como p(x)=2x,
\mu(x)=e^{\int 2x\,dx}=e^{x^{2}}.
Multiplicando a EDO original por \mu(x)=e^{x^{2}} obtém-se
e^{x^{2}}y' + 2x e^{x^{2}} y = e^{x^{2}}\cdot x e^{-x^{2}}.
O lado esquerdo pode ser escrito como derivada do produto e^{x^{2}}y, pois
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{2}}y\bigr)=e^{x^{2}}y'+(e^{x^{2}})'y=e^{x^{2}}y'+2x e^{x^{2}}y.
Logo a equação vira uma forma muito simples:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{2}}y\bigr)=x.

Passo 4

Integrar ambos os lados em relação a x. Integramos a derivada do lado esquerdo e x no lado direito:
e^{x^{2}}y=\int x\,dx + C = \frac{x^{2}}{2} + C,
onde C é a constante de integração (real). Agora isolamos y:
y = e^{-x^{2}}\left(\frac{x^{2}}{2} + C\right).
Podemos escrever a solução de forma mais explícita como
y(x)=\frac{x^{2}}{2}e^{-x^{2}} + C e^{-x^{2}},\qquad C\in\mathbb{R}.

Passo 5

Verificação rápida (útil para a prova e para ganhar confiança): derivar a solução e checar que satisfaz a EDO. Seja y=e^{-x^{2}}\bigl(\tfrac{x^{2}}{2}+C\bigr). Aplicando a regra do produto:
y' = (-2x)e^{-x^{2}}\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right) + e^{-x^{2}}\cdot x.
Somando 2x\,y tem-se
y' + 2x y = \bigl(-2x e^{-x^{2}}\left(\tfrac{x^{2}}{2}+C\right) + x e^{-x^{2}}\bigr) + 2x\bigl(e^{-x^{2}}\left(\tfrac{x^{2}}{2}+C\right)\bigr) = x e^{-x^{2}},
que é exatamente o lado direito da EDO. Portanto a solução está correta.

Passo 6

Interpretação final: a solução geral é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular. A solução homogênea de
y'+2x y=0
é y_h = C e^{-x^{2}}. Uma solução particular para a equação completa é y_p=\tfrac{x^{2}}{2}e^{-x^{2}}. A solução geral encontrada combina ambas:
y(x)=y_p(x)+y_h(x)=\frac{x^{2}}{2}e^{-x^{2}} + C e^{-x^{2}}.

Resposta

y(x)=e^{-x^{2}}\Bigl(\dfrac{x^{2}}{2}+C\Bigr),\quad C\in\mathbb{R}

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