Encontre todas as soluções das seguintes EDOs,
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial ordinária de primeira ordem
O que se pede: encontrar todas as soluções (ou seja, a solução geral).
Informações dadas importantes:
Informações dadas importantes:
- A equação está escrita em termos de
e . - O coeficiente de
é . - O termo independente (lado direito) é
.
Passo 2
Identificar a forma padrão e a técnica apropriada (aqui só estou identificando, sem resolver ainda). A equação tem a forma linear de primeira ordem
com
e
. Para esse tipo de equação a técnica direta e prática é o fator integrante (integrating factor). A ideia do fator integrante é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo se torne a derivada de
. Essa
é dada por
Passo 3
Calcular o fator integrante
. Como
,
Multiplicando a EDO original por
obtém-se
O lado esquerdo pode ser escrito como derivada do produto
, pois
Logo a equação vira uma forma muito simples:
Passo 4
Integrar ambos os lados em relação a
. Integramos a derivada do lado esquerdo e
no lado direito:
onde
é a constante de integração (real). Agora isolamos
:
Podemos escrever a solução de forma mais explícita como
Passo 5
Verificação rápida (útil para a prova e para ganhar confiança): derivar a solução e checar que satisfaz a EDO. Seja
. Aplicando a regra do produto:
Somando
tem-se
que é exatamente o lado direito da EDO. Portanto a solução está correta.
Passo 6
Interpretação final: a solução geral é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular. A solução homogênea de
é
. Uma solução particular para a equação completa é
. A solução geral encontrada combina ambas: