[1.] Encontre a solução geral da equação de Bernoulli,
Passo 1
Enunciado e dados relevantes (o que o problema pede):
- A equação diferencial dada é
- O pedido: encontrar a solução geral
dessa equação (todas as soluções, incluindo a trivial se existir). - Informações úteis extraídas do enunciado: função desconhecida
, derivada , e coeficientes dependentes de : e .
Passo 2
Reescrever a equação numa forma padrão para identificar o tipo. Vou organizar os termos para ter o formato
Partindo de
coloco o termo com
à esquerda:
Assim posso ler
Observação importante: há também a solução trivial
, pois substituindo
a equação é satisfeita. A seguir trato das soluções com
.
Passo 3
Transformação padrão para o caso
. Vou explicar a ideia: quando a equação tem o termo
à direita, uma mudança de variável do tipo
transforma a equação não linear em uma equação linear de primeira ordem em
. Aqui
, logo escolho
Agora calculo
em função de
e
. Diferenciando
obtenho
Isso é só álgebra de diferenciação (regra da potência).
Passo 4
Substituir
em termos de
na equação original. Da expressão anterior tem-se
Volto à equação reescrita
e substituo
:
Divido toda a equação por
(válido enquanto
):
ou, simplificando
,
Multiplicando por
obtemos a forma linear usual:
Passo 5
Resolver a equação linear de primeira ordem para
:
Aqui a função coeficiente é
. A técnica é o fator integrante
, definido por
Calculo a integral:
portanto
Passo 6
Multiplico a equação linear pelo fator integrante. A esquerda se torna a derivada do produto
:
Ou seja,
Agora integro ambos os lados em
:
onde
é constante arbitrária de integração.
Passo 7
Isolar
e voltar para
. Tem-se
Lembrando que
, obtemos para as soluções não nulas:
Invertendo:
Podemos simplificar a exponencial no numerador:
Passo 8
Observações finais e domínio:
- A integral indefinida
não tem expressão elementar simples em termos de funções elementares comuns; portanto é aceitável deixar a solução na forma com essa integral indefinida. Em provas é comum apresentar a solução na forma
- Não esquecer a solução trivial
que não foi alcançada pela transformação . Assim a família completa de soluções é: e as funções acima para constantes arbitrárias, com os pontos onde o denominador se anula sendo singularidades da solução.