[1.] Encontre a solução geral da equação de Bernoulli,
y^{\prime}-x^{3} y+x^{2} y^{2}=0

Passo 1

Enunciado e dados relevantes (o que o problema pede):
  • A equação diferencial dada é
y^{\prime}-x^{3} y+x^{2} y^{2}=0.
  • O pedido: encontrar a solução geral y(x) dessa equação (todas as soluções, incluindo a trivial se existir).
  • Informações úteis extraídas do enunciado: função desconhecida y(x), derivada y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}, e coeficientes dependentes de x: x^{3} e x^{2}.

Passo 2

Reescrever a equação numa forma padrão para identificar o tipo. Vou organizar os termos para ter o formato
y^{\prime}+p(x)\,y=q(x)\,y^{n}.
Partindo de
y^{\prime}-x^{3}y+x^{2}y^{2}=0,
coloco o termo com y à esquerda:
y^{\prime}-x^{3}y = -x^{2}y^{2}.
Assim posso ler
p(x) = -x^{3},\qquad q(x) = -x^{2},\qquad n=2.
Observação importante: há também a solução trivial y\equiv 0, pois substituindo y=0 a equação é satisfeita. A seguir trato das soluções com y\neq 0.

Passo 3

Transformação padrão para o caso n\neq 0,1. Vou explicar a ideia: quando a equação tem o termo y^{n} à direita, uma mudança de variável do tipo
u = y^{1-n}
transforma a equação não linear em uma equação linear de primeira ordem em u. Aqui n=2, logo escolho
u = y^{1-2} = y^{-1} = \frac{1}{y}.
Agora calculo u' em função de y e y'. Diferenciando u=y^{-1} obtenho
u' = -y^{-2} y' = -\frac{y'}{y^{2}}.
Isso é só álgebra de diferenciação (regra da potência).

Passo 4

Substituir y' em termos de u' na equação original. Da expressão anterior tem-se
y' = -y^{2} u'.
Volto à equação reescrita
y' - x^{3}y + x^{2}y^{2}=0
e substituo y':
- y^{2} u' - x^{3}y + x^{2}y^{2}=0.
Divido toda a equação por y^{2} (válido enquanto y\neq 0):
- u' - x^{3}\frac{y}{y^{2}} + x^{2} = 0
ou, simplificando \dfrac{y}{y^{2}}=\dfrac{1}{y}=u,
- u' - x^{3}u + x^{2}=0.
Multiplicando por -1 obtemos a forma linear usual:
u' + x^{3}u = x^{2}.

Passo 5

Resolver a equação linear de primeira ordem para u(x):
u' + x^{3}u = x^{2}.
Aqui a função coeficiente é x^{3}. A técnica é o fator integrante \mu(x), definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int x^{3}\,dx\right).
Calculo a integral:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4},
portanto
\mu(x)=\exp\!\left(\frac{x^{4}}{4}\right)=e^{x^{4}/4}.

Passo 6

Multiplico a equação linear pelo fator integrante. A esquerda se torna a derivada do produto \mu u:
\big(\mu u\big)' = \mu(x)\,x^{2}.
Ou seja,
\frac{d}{dx}\!\left(e^{x^{4}/4}\,u\right) = x^{2} e^{x^{4}/4}.
Agora integro ambos os lados em x:
e^{x^{4}/4}\,u = \int x^{2} e^{x^{4}/4}\,dx + C,
onde C é constante arbitrária de integração.

Passo 7

Isolar u e voltar para y. Tem-se
u(x) = e^{-x^{4}/4}\left(\int x^{2} e^{x^{4}/4}\,dx + C\right).
Lembrando que u=\dfrac{1}{y}, obtemos para as soluções não nulas:
\frac{1}{y(x)} = e^{-x^{4}/4}\left(\int x^{2} e^{x^{4}/4}\,dx + C\right).
Invertendo:
y(x) = \frac{1}{e^{-x^{4}/4}\left(\displaystyle\int x^{2} e^{x^{4}/4}\,dx + C\right)}.
Podemos simplificar a exponencial no numerador:
y(x) = \frac{e^{x^{4}/4}}{\displaystyle\int x^{2} e^{x^{4}/4}\,dx + C}.

Passo 8

Observações finais e domínio:
  • A integral indefinida \displaystyle\int x^{2} e^{x^{4}/4}\,dx não tem expressão elementar simples em termos de funções elementares comuns; portanto é aceitável deixar a solução na forma com essa integral indefinida. Em provas é comum apresentar a solução na forma
y(x)=\frac{e^{x^{4}/4}}{C+\displaystyle\int x^{2} e^{x^{4}/4}\,dx}.
  • Não esquecer a solução trivial y\equiv 0 que não foi alcançada pela transformação u=1/y. Assim a família completa de soluções é: y\equiv 0 e as funções acima para constantes C arbitrárias, com os pontos onde o denominador se anula sendo singularidades da solução.

Resposta

y(x)=0
y(x)=\dfrac{e^{x^{4}/4}}{C+\displaystyle\int x^{2} e^{x^{4}/4}\,dx}, onde C é constante arbitrária.

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