Determine um fator integrante para cada uma das EDOs, e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas, x y d x+\left(x^{2}+2 y^{2}+2\right) d y=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
x y\,dx + \left(x^{2}+2 y^{2}+2\right)\,dy = 0,
e pede duas coisas: (1) encontrar um fator integrante e (2) resolver a EDO obtendo a solução geral.
Dados relevantes que vamos usar (peguei-os do próprio enunciado):
M(x,y)=x y (coeficiente de dx);
N(x,y)=x^{2}+2 y^{2}+2 (coeficiente de dy).
A partir disso é preciso achar um fator integrante \mu (possivelmente dependente só de x ou só de y) que torne a forma \mu M\,dx+\mu N\,dy exata, e então integrar para obter a função potencial cuja igualdade a constante dá a solução geral.
Passo 2
Vou explicar a ideia de exatidão (aula rápida e prática). Uma forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que
Isso aparece ao comparar \partial(\mu M)/\partial y com \partial(\mu N)/\partial x e dividir por \mu. Vamos calcular o lado direito usando M e N dados:
A solução geral implícita da equação \mu M\,dx+\mu N\,dy=0 é \Phi(x,y)=const. Multiplicando por 2 para simplificar a forma, obtemos a família de curvas
x^{2}y^{2}+y^{4}+2y^{2}=C,
que pode ser factorada como
y^{2}\big(x^{2}+y^{2}+2\big)=C.
Observação sobre domínio: a dedução do fator integrante usou divisão por y, então \mu=y foi obtido assumindo y\neq 0. A solução acima com C=0 inclui a solução particular y\equiv 0 da equação original (teste direto mostra que y=0 é solução). Portanto a família dada com C\in\mathbb{R} descreve todas as soluções implícitas (incluindo a reta y=0 quando C=0).