Determine um fator integrante para cada uma das EDOs, e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas,
x y d x+\left(x^{2}+2 y^{2}+2\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x y\,dx + \left(x^{2}+2 y^{2}+2\right)\,dy = 0,
e pede duas coisas: (1) encontrar um fator integrante e (2) resolver a EDO obtendo a solução geral.
Dados relevantes que vamos usar (peguei-os do próprio enunciado):
  • M(x,y)=x y (coeficiente de dx);
  • N(x,y)=x^{2}+2 y^{2}+2 (coeficiente de dy).
    A partir disso é preciso achar um fator integrante \mu (possivelmente dependente só de x ou só de y) que torne a forma \mu M\,dx+\mu N\,dy exata, e então integrar para obter a função potencial cuja igualdade a constante dá a solução geral.

Passo 2

Vou explicar a ideia de exatidão (aula rápida e prática). Uma forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M,\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
Uma condição necessária e suficiente (quando M,N são suficientemente suaves) é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Aqui calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x y)=x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}+2 y^{2}+2\big)=2x.
Como x\neq 2x em geral, a forma não é exata originalmente.

Passo 3

Agora a ideia do fator integrante. Se existir \mu=\mu(y) dependente só de y, então a condição para \mu(y)M\,dx+\mu(y)N\,dy ser exata leva à equação
\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{dy}=\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}.
Isso aparece ao comparar \partial(\mu M)/\partial y com \partial(\mu N)/\partial x e dividir por \mu. Vamos calcular o lado direito usando M e N dados:
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} =\frac{2x - x}{x y}=\frac{x}{x y}=\frac{1}{y}.
Note que esse resultado depende só de y. Então existe um fator integrante que depende apenas de y. Chamando g(y)=1/y, temos
\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{dy}=g(y)=\frac{1}{y}.
Integrando ambos os lados:
\int\frac{1}{\mu}\,d\mu=\int\frac{1}{y}\,dy \quad\Rightarrow\quad \ln|\mu|=\ln|y|+C.
Podemos escolher a constante C=0 (constante multiplicativa absorvida depois), obtendo
\mu(y)=y
(tomamos \mu=y, válido para y\neq 0; depois veremos o caso y=0 como solução particular).

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(y)=y. A equação multiplicada fica
\big(x y\big)\,y\,dx + \big(x^{2}+2 y^{2}+2\big)\,y\,dy = 0,
ou seja
\underbrace{x y^{2}}_{=\tilde M}\,dx + \underbrace{\left(x^{2}y+2 y^{3}+2 y\right)}_{=\tilde N}\,dy = 0.
Verifiquemos exatidão agora:
\frac{\partial \tilde M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x y^{2})=2x y, \qquad \frac{\partial \tilde N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y+2 y^{3}+2 y)=2x y.
Como as derivadas coincidem, a forma é exata.

Passo 5

Agora resolvemos a equação exata encontrando a função potencial \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x=\tilde M e \partial\Phi/\partial y=\tilde N.
Integramos \tilde M em relação a x:
\Phi(x,y)=\int x y^{2}\,dx = \frac{1}{2}x^{2}y^{2} + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar (constante de integração que pode depender de y).
Agora diferenciamos essa \Phi em relação a y e igualamos a \tilde N:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=x^{2}y + h'(y)=\tilde N=x^{2}y+2 y^{3}+2 y.
Isto dá
h'(y)=2 y^{3}+2 y.
Integramos em y:
h(y)=\int(2 y^{3}+2 y)\,dy = \frac{1}{2}y^{4}+y^{2} + \text{const}.
Podemos incorporar a constante final numa constante geral C. Logo uma função potencial válida é
\Phi(x,y)=\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+\frac{1}{2}y^{4}+y^{2}.

Passo 6

A solução geral implícita da equação \mu M\,dx+\mu N\,dy=0 é \Phi(x,y)=const. Multiplicando por 2 para simplificar a forma, obtemos a família de curvas
x^{2}y^{2}+y^{4}+2y^{2}=C,
que pode ser factorada como
y^{2}\big(x^{2}+y^{2}+2\big)=C.
Observação sobre domínio: a dedução do fator integrante usou divisão por y, então \mu=y foi obtido assumindo y\neq 0. A solução acima com C=0 inclui a solução particular y\equiv 0 da equação original (teste direto mostra que y=0 é solução). Portanto a família dada com C\in\mathbb{R} descreve todas as soluções implícitas (incluindo a reta y=0 quando C=0).

Resposta

\mu(y)=y
y^{2}\big(x^{2}+y^{2}+2\big)=C

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