(a)[1,5 \mathrm{pt}] \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x-\cos (x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to +\infty} \frac{x-\cos(x)}{x}.
Informações dadas: a função considerada é \frac{x-\cos(x)}{x} e a variável x tende para +\infty. Não há outras condições adicionais nem restrições sobre x.

Passo 2

Faço uma manipulação algébrica simples para separar termos que eu conheço melhor:
\frac{x-\cos(x)}{x}=\frac{x}{x}-\frac{\cos(x)}{x}=1-\frac{\cos(x)}{x}.
Aqui usei a propriedade de divisão distributiva: \frac{a-b}{c}=\frac{a}{c}-\frac{b}{c}. Note que essa expressão é válida para x\neq0, e como estamos olhando x\to+\infty, isso não é problema.

Passo 3

Agora preciso analisar o termo \frac{\cos(x)}{x} quando x\to+\infty. Primeiro lembro de um fato simples e muito útil: \cos(x) é sempre limitado entre -1 e 1. Ou seja,
-1\le \cos(x)\le 1\quad\text{para todo }x.
Dividindo essa desigualdade por x>0 (pois estamos enviando x para +\infty, portanto consideramos x positivos suficientemente grandes), obtenho
-\frac{1}{x}\le \frac{\cos(x)}{x}\le \frac{1}{x}.

Passo 4

Aplico o Teorema do Confronto (squeeze theorem): se uma função g(x) fica entre duas funções que tendem ao mesmo limite L, então g(x) também tende a L. Aqui as funções de ponta são -\frac{1}{x} e \frac{1}{x}, e ambas têm limite 0 quando x\to+\infty:
\lim_{x\to+\infty}-\frac{1}{x}=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0.
Pelo confronto segue que
\lim_{x\to+\infty}\frac{\cos(x)}{x}=0.

Passo 5

Volto à expressão obtida no Passo 2. Como \frac{\cos(x)}{x}\to0 e a função constante 1 tem limite 1, uso a propriedade de limites (o limite da diferença é a diferença dos limites quando eles existem) para concluir:
\lim_{x\to+\infty}\left(1-\frac{\cos(x)}{x}\right)=1-0=1.

Resposta

1

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