(a)[1,5 \mathrm{pt}] \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x-\cos (x)}{x}
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas: a função considerada é
e a variável
tende para
. Não há outras condições adicionais nem restrições sobre
.
Passo 2
Faço uma manipulação algébrica simples para separar termos que eu conheço melhor:
Aqui usei a propriedade de divisão distributiva:
. Note que essa expressão é válida para
, e como estamos olhando
, isso não é problema.
Passo 3
Agora preciso analisar o termo
quando
. Primeiro lembro de um fato simples e muito útil:
é sempre limitado entre
e
. Ou seja,
Dividindo essa desigualdade por
(pois estamos enviando
para
, portanto consideramos
positivos suficientemente grandes), obtenho
Passo 4
Aplico o Teorema do Confronto (squeeze theorem): se uma função
fica entre duas funções que tendem ao mesmo limite
, então
também tende a
. Aqui as funções de ponta são
e
, e ambas têm limite
quando
:
Pelo confronto segue que
Passo 5
Volto à expressão obtida no Passo 2. Como
e a função constante
tem limite
, uso a propriedade de limites (o limite da diferença é a diferença dos limites quando eles existem) para concluir: