5^{a} Questão (2 pontos): Determine se a integral imprópria converge ou diverge:
\int_{0}^{\infty} x^{3} e^{-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} x^{3} e^{-x^{2}} \, dx
converge ou diverge. Informações dadas: o integrando é \,x^{3} e^{-x^{2}}, o intervalo de integração é [0,\infty). Observações úteis a listar (sem resolver ainda): o intervalo é ilimitado pela direita (isso torna a integral imprópria) e o integrando é uma função bem definida em x=0.

Passo 2

Vamos entender o que significa uma integral imprópria neste caso. Uma integral com limite superior infinito como
\int_{0}^{\infty} f(x)\,dx
é definida como o limite
\lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R} f(x)\,dx.
Se esse limite existir e for finito, dizemos que a integral converge; caso contrário, diverge. Aqui f(x)=x^{3}e^{-x^{2}} é contínua em [0,\infty), então não temos problema no ponto 0; o único possível problema é o comportamento quando x\to\infty. Vamos calcular a integral propriamente dita (ou o limite acima) para ver se o valor é finito.

Passo 3

Método escolhido: mudança de variável (substituição) simples que transforma o fator e^{-x^{2}} em uma exponencial da forma e^{-t}, que é mais fácil de tratar. Definimos a substituição
t = x^{2}.
Agora calculamos a relação entre dt e dx. Derivando, temos dt = 2x\,dx, então
x\,dx = \frac{1}{2}\,dt.
Queremos reescrever x^{3}\,dx. Note que x^{3}\,dx = x^{2}\cdot x\,dx. Como x^{2}=t e x\,dx=\dfrac{1}{2}\,dt, obtemos
x^{3}\,dx = t\cdot\frac{1}{2}\,dt = \frac{1}{2}\,t\,dt.

Passo 4

Agora trocamos os limites de integração: quando x=0, t=0; quando x\to\infty, t\to\infty. Substituindo na integral original obtemos
\int_{0}^{\infty} x^{3} e^{-x^{2}} \, dx = \int_{0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}t\right) e^{-t} \, dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} t e^{-t} \, dt.

Passo 5

Agora precisamos avaliar a integral
\int_{0}^{\infty} t e^{-t} \, dt.
Duas maneiras simples de ver que ela é finita e de calcular seu valor:
  1. Usando a função Gamma: a função Gamma é definida por
\Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty} t^{\alpha-1} e^{-t}\,dt\quad(\alpha>0).
Escolhendo \alpha=2 temos
\Gamma(2)=\int_{0}^{\infty} t^{2-1} e^{-t}\,dt=\int_{0}^{\infty} t e^{-t}\,dt.
E é conhecido que \Gamma(n)=(n-1)! para inteiro n\ge1, então \Gamma(2)=1!=1. Portanto
\int_{0}^{\infty} t e^{-t}\,dt = 1.
  1. (Alternativa, sem Gamma) Calculando por partes para confirmar: seja u=t e dv=e^{-t}dt. Então du=dt e v=-e^{-t}. Aplicando integração por partes em [0,R] e depois tomando R\to\infty,
\int_{0}^{R} t e^{-t}\,dt = \big[-t e^{-t}\big]_{0}^{R} + \int_{0}^{R} e^{-t}\,dt.
Ao passar para o limite R\to\infty, o termo -R e^{-R} tende a 0 (porque a exponencial domina), e \int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt = 1. Logo o valor é 1. Isso confirma o resultado anterior.

Passo 6

Voltando à integral original, juntamos os resultados:
\int_{0}^{\infty} x^{3} e^{-x^{2}} \, dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} t e^{-t} \, dt = \frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{2}.
Como o valor é finito, concluímos que a integral imprópria converge. Intuitivamente, a exponencial e^{-x^{2}} decai muito rápido quando x\to\infty, mais rápido do que qualquer potência polinomial cresce, por isso integráveis nesse tipo de integral.

Resposta

Converge; valor \displaystyle \frac{1}{2}.

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