Questão (2 pontos): Determine se a integral imprópria converge ou diverge:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
converge ou diverge. Informações dadas: o integrando é
, o intervalo de integração é
. Observações úteis a listar (sem resolver ainda): o intervalo é ilimitado pela direita (isso torna a integral imprópria) e o integrando é uma função bem definida em
.
Passo 2
Vamos entender o que significa uma integral imprópria neste caso. Uma integral com limite superior infinito como
é definida como o limite
Se esse limite existir e for finito, dizemos que a integral converge; caso contrário, diverge. Aqui
é contínua em
, então não temos problema no ponto
; o único possível problema é o comportamento quando
. Vamos calcular a integral propriamente dita (ou o limite acima) para ver se o valor é finito.
Passo 3
Método escolhido: mudança de variável (substituição) simples que transforma o fator
em uma exponencial da forma
, que é mais fácil de tratar. Definimos a substituição
Agora calculamos a relação entre
e
. Derivando, temos
, então
Queremos reescrever
. Note que
. Como
e
, obtemos
Passo 4
Agora trocamos os limites de integração: quando
,
; quando
,
. Substituindo na integral original obtemos
Passo 5
Agora precisamos avaliar a integral
Duas maneiras simples de ver que ela é finita e de calcular seu valor:
- Usando a função Gamma: a função Gamma é definida por
Escolhendo
temos
E é conhecido que
para inteiro
, então
. Portanto
- (Alternativa, sem Gamma) Calculando por partes para confirmar: seja
e . Então e . Aplicando integração por partes em e depois tomando ,
Ao passar para o limite
, o termo
tende a
(porque a exponencial domina), e
. Logo o valor é
. Isso confirma o resultado anterior.
Passo 6
Voltando à integral original, juntamos os resultados:
Como o valor é finito, concluímos que a integral imprópria converge. Intuitivamente, a exponencial
decai muito rápido quando
, mais rápido do que qualquer potência polinomial cresce, por isso integráveis nesse tipo de integral.
Resposta
Converge; valor
.