4{ }^{\mathrm{a}} Questão (2 pontos): Seja R a região do pano x y limitada por: y=e^{x}-1, x=0 e y=1, Considere S o sólido obtido ao girar a região R em torno do eixo x .
(A) Esboce a região R, indicando os pontos de interseção; ( 0,7 ponto)
(B) Calcule o volume de S.

Passo 1

O enunciado dá a região R do plano xy limitada por: y=e^{x}-1, x=0 e y=1.\n
As perguntas são:\n
(A) Esboçar a região R e indicar os pontos de interseção. \n
(B) Calcular o volume do sólido S obtido ao girar R em torno do eixo x.\n
Informações relevantes fornecidas:\n
  • A curva inferior é y=e^{x}-1.\n
  • Uma das fronteiras verticais é x=0.\n
  • A fronteira superior é a reta y=1.

Passo 2

Encontremos os pontos de interseção importantes (vou explicar passo a passo):\n
  • Interseção entre y=e^{x}-1 e y=1: resolver e^{x}-1=1.\n
Adicionar 1 aos dois lados dá e^{x}=2.\n
Aplicando o logaritmo natural, obtemos x=\ln 2.\n
Substituindo em y=1, o ponto é \bigl(\ln 2,\,1\bigr).\n
  • Interseção entre y=e^{x}-1 e x=0: em x=0 temos y=e^{0}-1=1-1=0, então o ponto é (0,0).\n
Portanto os pontos-chave são (0,0) e \bigl(\ln 2,\,1\bigr).\n
Descrição do esboço (como você deve desenhar na prova):\n
  • Desenhe o eixo x horizontal e o eixo y vertical.\n
  • Marque x=0 (eixo vertical), o ponto (0,0) e o ponto \bigl(\ln 2,1\bigr) (observe que \ln 2\approx0{,}693).\n
  • A curva y=e^{x}-1 passa por (0,0) e cresce exponencialmente, atingindo y=1 em x=\ln 2.\n
  • A região R é o “recorte” entre a reta horizontal y=1 (acima) e a curva y=e^{x}-1 (abaixo), para x entre 0 e \ln 2. Desenhe esse trecho preenchido.

Passo 3

Decidindo o método para o volume: quando giramos uma região em torno do eixo x, uma fatia vertical de espessura dx gera um disco (ou anel/roda) perpendicular ao eixo x. \n
Se a região entre duas curvas y_{\text{top}}(x) e y_{\text{bot}}(x) é girada em torno do eixo x, cada fatia gera um anel de raio externo R(x)=y_{\text{top}}(x) e raio interno r(x)=y_{\text{bot}}(x). \n
A área do anel é \pi\bigl(R(x)^2-r(x)^2\bigr) e o volume da fatia é essa área vezes dx. \n
Logo a fórmula do volume é
V=\pi\int_{a}^{b}\bigl(R(x)^2-r(x)^2\bigr)\,dx,
onde [a,b] são os limites em x.

Passo 4

Identifiquemos R(x), r(x) e os limites para o nosso caso:\n
  • A curva superior (mais próxima ao eixo x quando giramos?) aqui é a reta y=1. Ao girar em torno do eixo x, o raio externo é R(x)=1.\n
  • A curva inferior é y=e^{x}-1. O raio interno é r(x)=e^{x}-1.\n
  • Os limites em x são de x=0 até x=\ln 2.\n
    Portanto o volume será
V=\pi\int_{0}^{\ln 2}\Bigl(1^{2}-(e^{x}-1)^{2}\Bigr)\,dx.

Passo 5

Vamos simplificar o integrando antes de integrar. Primeiro expandimos (e^{x}-1)^{2}:\n
(e^{x}-1)^{2}=e^{2x}-2e^{x}+1.\n
Então
1-(e^{x}-1)^{2}=1-\bigl(e^{2x}-2e^{x}+1\bigr)=2e^{x}-e^{2x}.\n
Substituindo na integral,
V=\pi\int_{0}^{\ln 2}\bigl(2e^{x}-e^{2x}\bigr)\,dx.

Passo 6

Calculemos a integral termo a termo.\n
Antiderivadas:\n
  • Para 2e^{x}, a antiderivada é 2e^{x} porque \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.\n
  • Para e^{2x}, use que \dfrac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}, logo a antiderivada de e^{2x} é \dfrac{1}{2}e^{2x}.\n
    Assim uma primitiva de 2e^{x}-e^{2x} é
F(x)=2e^{x}-\tfrac{1}{2}e^{2x}.\n
Avalie de 0 a \ln 2:\n
Calcule F(\ln 2):\n
e^{\ln 2}=2,\qquad e^{2\ln 2}=e^{\ln 4}=4,\n
então
F(\ln 2)=2\cdot 2-\tfrac{1}{2}\cdot 4=4-2=2.\n
Calcule F(0):\n
e^{0}=1,\qquad e^{0}=1,
portanto
F(0)=2\cdot 1-\tfrac{1}{2}\cdot 1=2-\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.\n
A diferença é
F(\ln 2)-F(0)=2-\tfrac{3}{2}=\tfrac{1}{2}.\n
Multiplicando por \pi,
V=\pi\cdot \tfrac{1}{2}=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 7

Resumo final e interpretação rápida: o volume do sólido obtido girando R em torno do eixo x é \tfrac{\pi}{2}. \n
Parabéns — você montou a integral correta, simplificou o integrando e avaliou a integral usando antiderivadas de exponenciais. Isso é exatamente o que costumam pedir em prova: identificar raios, limites e integrar.

Resposta

(A) Pontos de interseção: (0,0) e \bigl(\ln 2,\,1\bigr). Região R: conjunto de pontos com 0\le x\le\ln 2 e e^{x}-1\le y\le1.\n
(B) V=\dfrac{\pi}{2}.

Exercícios relacionados