Questão (2 pontos): Seja R a região do pano
limitada por:
e
, Considere S o sólido obtido ao girar a região R em torno do eixo x .
(A) Esboce a região
, indicando os pontos de interseção; ( 0,7 ponto)
(B) Calcule o volume de S.
(A) Esboce a região
(B) Calcule o volume de S.
Passo 1
O enunciado dá a região
do plano
limitada por:
,
e
.\n
As perguntas são:\n
(A) Esboçar a região e indicar os pontos de interseção. \n
(B) Calcular o volume do sólido obtido ao girar
em torno do eixo
.\n
Informações relevantes fornecidas:\n
As perguntas são:\n
(A) Esboçar a região
(B) Calcular o volume do sólido
Informações relevantes fornecidas:\n
- A curva inferior é
.\n - Uma das fronteiras verticais é
.\n - A fronteira superior é a reta
.
Passo 2
Encontremos os pontos de interseção importantes (vou explicar passo a passo):\n
- Interseção entre
e : resolver \n
Adicionar
aos dois lados dá
\n
Aplicando o logaritmo natural, obtemos
\n
Substituindo em
, o ponto é
.\n
- Interseção entre
e : em temos então o ponto é .\n
Portanto os pontos-chave são
e
.\n
Descrição do esboço (como você deve desenhar na prova):\n
Descrição do esboço (como você deve desenhar na prova):\n
- Desenhe o eixo
horizontal e o eixo vertical.\n - Marque
(eixo vertical), o ponto e o ponto (observe que ).\n - A curva
passa por e cresce exponencialmente, atingindo em .\n - A região
é o “recorte” entre a reta horizontal (acima) e a curva (abaixo), para entre e . Desenhe esse trecho preenchido.
Passo 3
Decidindo o método para o volume: quando giramos uma região em torno do eixo
, uma fatia vertical de espessura
gera um disco (ou anel/roda) perpendicular ao eixo
. \n
Se a região entre duas curvas e
é girada em torno do eixo
, cada fatia gera um anel de raio externo
e raio interno
. \n
A área do anel é e o volume da fatia é essa área vezes
. \n
Logo a fórmula do volume é
Se a região entre duas curvas
A área do anel é
Logo a fórmula do volume é
onde
são os limites em
.
Passo 4
Identifiquemos
,
e os limites para o nosso caso:\n
- A curva superior (mais próxima ao eixo
quando giramos?) aqui é a reta . Ao girar em torno do eixo , o raio externo é \n - A curva inferior é
. O raio interno é \n - Os limites em
são de até .\n
Portanto o volume será
Passo 5
Vamos simplificar o integrando antes de integrar. Primeiro expandimos
:\n
Então
Substituindo na integral,
Passo 6
Calculemos a integral termo a termo.\n
Antiderivadas:\n
Antiderivadas:\n
- Para
, a antiderivada é porque .\n - Para
, use que , logo a antiderivada de é .\n
Assim uma primitiva deé
Avalie de
a
:\n
Calcule :\n
Calcule
então
Calcule
:\n
portanto
A diferença é
Multiplicando por
,
Passo 7
Resumo final e interpretação rápida: o volume do sólido obtido girando
em torno do eixo
é
. \n
Parabéns — você montou a integral correta, simplificou o integrando e avaliou a integral usando antiderivadas de exponenciais. Isso é exatamente o que costumam pedir em prova: identificar raios, limites e integrar.
Parabéns — você montou a integral correta, simplificou o integrando e avaliou a integral usando antiderivadas de exponenciais. Isso é exatamente o que costumam pedir em prova: identificar raios, limites e integrar.
Resposta
(A) Pontos de interseção:
e
. Região
: conjunto de pontos com
e
.\n
(B) .
(B)