Calcule
onde
e
a união das faces do cubo de vértices
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo da campo vetorial
através da superfície
que é a união das faces do cubo cujos vértices são
.
Informações dadas e objetivo, listados claramente:
Informações dadas e objetivo, listados claramente:
- O campo vetorial é
. - A superfície
é a superfície fechada do cubo unitário, ou seja, a fronteira do sólido . - Queremos calcular
, o fluxo de através de .
Passo 2
Escolha do método e por quê. Vou usar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss), porque:
- O teorema diz que para uma região sólida
com fronteira suave orientada externamente e um campo com derivadas parciais contínuas,
Aqui
é a superfície fechada orientada para fora,
é a divergência de
e
é o elemento de volume.
- No nosso caso
é o cubo unitário (região simples e limitada) e é formado por polinômios, cujas derivadas parciais são contínuas. Portanto as hipóteses do teorema estão satisfeitas e podemos transformar o fluxo por uma integral de volume, o que evita calcular face a face.
Passo 3
Calcular a divergência de
. A divergência é definida por
onde
são as componentes de
. No nosso caso:
Calculando termo a termo:
Somando,
Passo 4
Aplicar o Teorema da Divergência para transformar o fluxo em integral de volume:
Como
, podemos escrever a integral iterada (qualquer ordem funciona); tomo a ordem
por exemplo:
Passo 5
Calcular a integral passo a passo. Primeiro note que a parte dependente de
e
separa da dependente de
:
Calcule a integral interna dupla:
Avaliar cada uma:
Portanto
Substituindo de volta:
Passo 6
Conclusão: o fluxo total de
através da superfície
do cubo unitário é
. Fizemos usando o Teorema da Divergência que transformou a integral de superfície num cálculo direto de integral de volume, o que simplifica muito na prática.