[1,5 \mathrm{pts}] Calcule \iint_{S} \vec{F} d \vec{S} onde \vec{F}(x, y, z)=\left(x^{2} y, x^{2} z, z^{2} y\right) e S a união das faces do cubo de vértices (0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0), 0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1).

Passo 1

O enunciado pede o fluxo da campo vetorial \vec{F} através da superfície S que é a união das faces do cubo cujos vértices são (0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1).
Informações dadas e objetivo, listados claramente:
  • O campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=\bigl(x^{2}y,\;x^{2}z,\;z^{2}y\bigr).
  • A superfície S é a superfície fechada do cubo unitário, ou seja, a fronteira do sólido V=[0,1]\times[0,1]\times[0,1].
  • Queremos calcular \iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}, o fluxo de \vec{F} através de S.

Passo 2

Escolha do método e por quê. Vou usar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss), porque:
  • O teorema diz que para uma região sólida V com fronteira suave orientada externamente e um campo \vec{F} com derivadas parciais contínuas,
\iint_{\partial V}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV.
Aqui \partial V é a superfície fechada orientada para fora, \operatorname{div}\vec{F} é a divergência de \vec{F} e dV é o elemento de volume.
  • No nosso caso V é o cubo unitário (região simples e limitada) e \vec{F} é formado por polinômios, cujas derivadas parciais são contínuas. Portanto as hipóteses do teorema estão satisfeitas e podemos transformar o fluxo por uma integral de volume, o que evita calcular face a face.

Passo 3

Calcular a divergência de \vec{F}. A divergência é definida por
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}F_{1}+\frac{\partial}{\partial y}F_{2}+\frac{\partial}{\partial z}F_{3},
onde F_{1},F_{2},F_{3} são as componentes de \vec{F}. No nosso caso:
F_{1}(x,y,z)=x^{2}y,\qquad F_{2}(x,y,z)=x^{2}z,\qquad F_{3}(x,y,z)=z^{2}y.
Calculando termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}F_{1}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y\bigr)=2xy,
\frac{\partial}{\partial y}F_{2}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}z\bigr)=0\quad\text{(pois \(x^{2}z\) não depende de \(y\))},ã
\frac{\partial}{\partial z}F_{3}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(z^{2}y\bigr)=2zy.
Somando,
\operatorname{div}\vec{F}=2xy+0+2zy=2y(x+z).

Passo 4

Aplicar o Teorema da Divergência para transformar o fluxo em integral de volume:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\,dV=\iiint_{[0,1]^3}2y(x+z)\,dV.
Como V=[0,1]\times[0,1]\times[0,1], podemos escrever a integral iterada (qualquer ordem funciona); tomo a ordem dx\,dz\,dy por exemplo:
\iiint_{[0,1]^3}2y(x+z)\,dx\,dz\,dy.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo. Primeiro note que a parte dependente de x e z separa da dependente de y:
\iiint_{[0,1]^3}2y(x+z)\,dx\,dz\,dy =2\int_{0}^{1}y\left(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(x+z)\,dx\,dz\right)dy.
Calcule a integral interna dupla:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(x+z)\,dx\,dz =\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}x\,dx\right)dz+\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}z\,dz\right)dx.
Avaliar cada uma:
\int_{0}^{1}x\,dx=\left[\tfrac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}, \qquad \int_{0}^{1}z\,dz=\left[\tfrac{1}{2}z^{2}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}.
Portanto
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(x+z)\,dx\,dz=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1.
Substituindo de volta:
2\int_{0}^{1}y\cdot 1\,dy=2\int_{0}^{1}y\,dy=2\left[\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{0}^{1}=2\cdot\tfrac{1}{2}=1.

Passo 6

Conclusão: o fluxo total de \vec{F} através da superfície S do cubo unitário é 1. Fizemos usando o Teorema da Divergência que transformou a integral de superfície num cálculo direto de integral de volume, o que simplifica muito na prática.

Resposta

1

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