Encontre \lim _{3} f(x) se, para todo x>1,
\frac{10 e^{x}-21}{2 e^{x}}<f(x)<\frac{5 \sqrt{x}}{\sqrt{x-1}}

Passo 1

O enunciado pede encontrar \lim_{x\to\infty} f(x) (a expressão foi escrita como \lim_{3} f(x), mas aqui vou interpretar o pedido como o limite quando x\to\infty, que é a interpretação que faz sentido com as desigualdades dadas). As informações fornecidas são, para todo x>1:
\frac{10 e^{x}-21}{2 e^{x}}<f(x)<\frac{5 \sqrt{x}}{\sqrt{x-1}}.
Portanto temos uma função f(x) presa entre duas funções conhecidas — uma à esquerda (menor) e outra à direita (maior) — para toda a região x>1. Nosso objetivo é usar essas desigualdades para determinar o limite de f(x) quando x\to\infty.

Passo 2

Analisemos a função que aparece no lado esquerdo da desigualdade:
\frac{10 e^{x}-21}{2 e^{x}}.
Vou simplificar essa expressão para entender seu comportamento quando x\to\infty. Dividindo os termos do numerador por 2e^{x} obtemos
\frac{10 e^{x}-21}{2 e^{x}}=\frac{10 e^{x}}{2 e^{x}}-\frac{21}{2 e^{x}}=5-\frac{21}{2 e^{x}}.
Explicação didática: a ideia é separar a parte que não depende de x (o 5) da parte que contém e^{x} no denominador. Sabemos que a exponencial cresce muito rápido, então e^{x}\to\infty quando x\to\infty. Logo o termo \dfrac{21}{2 e^{x}} tende a 0 quando x\to\infty. Portanto
\lim_{x\to\infty}\left(5-\frac{21}{2 e^{x}}\right)=5-0=5.

Passo 3

Agora analisamos a função do lado direito da desigualdade:
\frac{5 \sqrt{x}}{\sqrt{x-1}}.
Vou reescrever essa razão de raízes de modo a ver seu limite com clareza. Temos
\frac{5 \sqrt{x}}{\sqrt{x-1}}=5\sqrt{\frac{x}{x-1}}.
Uma forma conveniente de ver o comportamento quando x\to\infty é escrever
\frac{x}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}.
Quando x\to\infty, temos \dfrac{1}{x-1}\to 0, então \dfrac{x}{x-1}\to 1. Como a raiz quadrada é contínua e \sqrt{1}=1, resulta que
\lim_{x\to\infty}5\sqrt{\frac{x}{x-1}}=5\cdot 1=5.
Explicação didática: mostrar que x/(x-1) tende a 1 é suficiente, porque a função \sqrt{\cdot} preserva limites (é contínua onde é definida).

Passo 4

Aplicamos agora o Teorema do Confronto (teorema do “sanduíche” ou “squeeze theorem”). Enunciado do teorema aplicado aqui:
\text{Se } g(x)\le f(x)\le h(x)\text{ para todos }x\text{ em algum intervalo, e }\lim_{x\to\infty}g(x)=\lim_{x\to\infty}h(x)=L,\text{ então }\lim_{x\to\infty}f(x)=L.ã
No nosso caso temos, para todo x>1,
\underbrace{\frac{10 e^{x}-21}{2 e^{x}}}_{g(x)}<f(x)<\underbrace{\frac{5 \sqrt{x}}{\sqrt{x-1}}}_{h(x)}.
Pelos Passos 2 e 3 vimos que
\lim_{x\to\infty}g(x)=5\quad\text{e}\quad\lim_{x\to\infty}h(x)=5.
Como ambas as funções extremas tendem ao mesmo valor 5, o teorema do confronto garante que
\lim_{x\to\infty}f(x)=5.

Resposta

\;5

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