O enunciado pede encontrar \lim_{x\to\infty} f(x) (a expressão foi escrita como \lim_{3} f(x), mas aqui vou interpretar o pedido como o limite quando x\to\infty, que é a interpretação que faz sentido com as desigualdades dadas). As informações fornecidas são, para todo x>1:
Portanto temos uma função f(x) presa entre duas funções conhecidas — uma à esquerda (menor) e outra à direita (maior) — para toda a região x>1. Nosso objetivo é usar essas desigualdades para determinar o limite de f(x) quando x\to\infty.
Passo 2
Analisemos a função que aparece no lado esquerdo da desigualdade:
\frac{10 e^{x}-21}{2 e^{x}}.
Vou simplificar essa expressão para entender seu comportamento quando x\to\infty. Dividindo os termos do numerador por 2e^{x} obtemos
Explicação didática: a ideia é separar a parte que não depende de x (o 5) da parte que contém e^{x} no denominador. Sabemos que a exponencial cresce muito rápido, então e^{x}\to\infty quando x\to\infty. Logo o termo \dfrac{21}{2 e^{x}} tende a 0 quando x\to\infty. Portanto
Explicação didática: mostrar que x/(x-1) tende a 1 é suficiente, porque a função \sqrt{\cdot} preserva limites (é contínua onde é definida).
Passo 4
Aplicamos agora o Teorema do Confronto (teorema do “sanduíche” ou “squeeze theorem”). Enunciado do teorema aplicado aqui:
\text{Se } g(x)\le f(x)\le h(x)\text{ para todos }x\text{ em algum intervalo, e }\lim_{x\to\infty}g(x)=\lim_{x\to\infty}h(x)=L,\text{ então }\lim_{x\to\infty}f(x)=L.