[1,5 \mathrm{pts}] Calcule \int_{C}-5 x+4 y-z d s onde C é o segmento de reta ligando os pontos ( 2,-5,2 ) ao ponto ( 1,1,1 ).

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado:
  • Pede calcular a integral de linha
\int_{C} -5x + 4y - z \, ds,
onde C é o segmento de reta que liga os pontos (2,-5,2) e (1,1,1).
  • Pontos dados: P_0 = (2,-5,2) e P_1 = (1,1,1).
  • Informação importante: C é um segmento de reta entre P_0 e P_1.
  • A integral é do tipo “integral de função escalar ao longo de uma curva com respeito ao comprimento de arco” (ou seja, com ds).

Passo 2

Como parametrizar o segmento de reta (esquema prático que costuma cair em prova):
Para um segmento entre P_0 e P_1 é comum usar a parametrização afim
\mathbf{r}(t)=P_0 + t\,(P_1-P_0),\qquad 0\le t\le 1.
Calcule P_1-P_0:
P_1-P_0 = (1-2,\;1-(-5),\;1-2)=(-1,6,-1).
Portanto a parametrização é, componente a componente,
\mathbf{r}(t)=\big(2-t,\;-5+6t,\;2-t\big),\qquad 0\le t\le 1.

Passo 3

Fórmula da integral de linha com ds e significado das quantidades (mini-aula):
  • Se f(x,y,z) é uma função escalar e \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) é uma parametrização de C para t\in[a,b], então
\int_C f(x,y,z)\,ds = \int_a^b f\big(x(t),y(t),z(t)\big)\,\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt.
  • Aqui:
    • f(x,y,z) é o integrando original, no nosso caso f(x,y,z)=-5x+4y-z.
    • \mathbf{r}'(t) é a derivada da parametrização (velocidade), e \|\mathbf{r}'(t)\| é o comprimento dessa velocidade — isto é o fator que transforma dt em ds.
    • a e b são os extremos do parâmetro (aqui 0 e 1).
  • Em palavras: primeiro escrevo f em função de t substituindo x,y,z por x(t),y(t),z(t); depois multiplico por \|\mathbf{r}'(t)\| e integro em t de a a b.

Passo 4

Calcule \mathbf{r}'(t) e \|\mathbf{r}'(t)\|:
Derivando componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=\frac{d}{dt}(2-t,\;-5+6t,\;2-t)=(-1,6,-1).
O vetor é constante porque C é segmento reto. Agora a norma:
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{(-1)^2+6^2+(-1)^2}=\sqrt{1+36+1}=\sqrt{38}.
Logo ds=\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt=\sqrt{38}\,dt.

Passo 5

Escreva o integrando em função de t:
A função original é f(x,y,z)=-5x+4y-z. Substituindo x(t)=2-t, y(t)=-5+6t, z(t)=2-t (da parametrização):
\begin{aligned} f\big(x(t),y(t),z(t)\big) &= -5(2-t) + 4(-5+6t) - (2-t) \\\ &= -10 +5t -20 +24t -2 + t. \end{aligned}
Some termos constantes e os coeficientes de t:
-10-20-2 = -32,\qquad 5t+24t+t = 30t.
Portanto
f\big(x(t),y(t),z(t)\big) = -32 + 30t.

Passo 6

Monte a integral e calcule:
Usando a fórmula da Passo 3 e que \|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{38},
\int_C -5x+4y-z\,ds = \int_0^1 \big(-32+30t\big)\,\sqrt{38}\,dt = \sqrt{38}\int_0^1 (-32+30t)\,dt.
Calcule a primitiva e avalie:
\int_0^1 (-32+30t)\,dt = \big[-32t +15t^2\big]_0^1 = -32 + 15 = -17.
Multiplicando pelo fator \sqrt{38},
\int_C -5x+4y-z\,ds = -17\sqrt{38}.

Resposta

-17\sqrt{38}

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