Calcule
onde
é o segmento de reta ligando os pontos (
) ao ponto (
).
Passo 1
O que o problema pede e o que é dado:
- Pede calcular a integral de linha
onde
é o segmento de reta que liga os pontos
e
.
- Pontos dados:
e . - Informação importante:
é um segmento de reta entre e . - A integral é do tipo “integral de função escalar ao longo de uma curva com respeito ao comprimento de arco” (ou seja, com
).
Passo 2
Como parametrizar o segmento de reta (esquema prático que costuma cair em prova):
Para um segmento entre
e
é comum usar a parametrização afim
Calcule
:
Portanto a parametrização é, componente a componente,
Passo 3
Fórmula da integral de linha com
e significado das quantidades (mini-aula):
- Se
é uma função escalar e é uma parametrização de para , então
- Aqui:
-
é o integrando original, no nosso caso . -
é a derivada da parametrização (velocidade), e é o comprimento dessa velocidade — isto é o fator que transforma em . -
e são os extremos do parâmetro (aqui e ).
-
- Em palavras: primeiro escrevo
em função de substituindo por ; depois multiplico por e integro em de a .
Passo 4
Calcule
e
:
Derivando componente a componente:
O vetor é constante porque
é segmento reto. Agora a norma:
Logo
.
Passo 5
Escreva o integrando em função de
:
A função original é
. Substituindo
,
,
(da parametrização):
Some termos constantes e os coeficientes de
:
Portanto
Passo 6
Monte a integral e calcule:
Usando a fórmula da Passo 3 e que
,
Calcule a primitiva e avalie:
Multiplicando pelo fator
,