Seja
e
o pedaço de círculo
. Resolva
.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos
, onde
e
são dados. Informações importantes extraídas do enunciado:
Observação sobre
Passo 2
Calculemos o gradiente
. Primeiro, é útil notar que podemos escrever
como
com
.
As derivadas parciais são:
Portanto
Passo 3
Vou lembrar (e provar rapidamente) uma propriedade chave que vamos usar: se
tem derivadas parciais contínuas numa região que contém uma curva
, então para qualquer parametrização
de
Isto é a regra da cadeia aplicada a
. Integrando em
obtemos o Teorema Fundamental das Integrais de Linha (ou Teorema Fundamental para campos gradiente): se
e
são as extremidades de
,
Em particular, se
é uma curva fechada (ou seja,
), então
A ideia é simples e poderosa: a integral da derivada (no sentido direcional ao longo da curva) devolve a variação de
entre pontos finais; se volta ao mesmo ponto, a variação é zero.
Passo 4
Aplicando a propriedade ao nosso caso:
é uma função suave (todas as derivadas parciais são contínuas em
), logo
é um campo gradiente definido globalmente. Assim, para qualquer curva fechada
contida no domínio, vale
Como o símbolo do enunciado é
(integral em curva fechada) e
é definida e suave em todo
, concluímos que a integral pedida vale
.
Passo 5
(Aponto didático extra — caso o professor tivesse pedido a integral ao longo do semicírculo não fechado.) Se a intenção fosse a integral ao longo do semicírculo
com
sem fechar pela reta, então usaríamos o mesmo teorema e obteríamos a diferença
. Por exemplo, parametrizando o semicírculo de
até
por
, os extremos são
e
. Então
e a integral ao longo do arco, orientada desse ponto inicial ao final, seria
. Mas reforço: isso vale se a curva não for fechada e adotarmos essa orientação. Como o enunciado pede
(fechada), usamos o resultado do passo anterior.