[1,5 \mathrm{pts}] Dada \vec{F}(x, y, z)=\left(y^{2} z^{3}\right) \vec{i}+\left(2 x y z^{3}+\cos y\right) \vec{j}+3 x y^{2} z^{2} \vec{k}, assuma que \vec{F} conservativo e calcule f tal que \nabla f(x, y, z)=\vec{F}(x, y, z).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=\left(y^{2}z^{3}\right)\vec{i}+\left(2xyz^{3}+\cos y\right)\vec{j}+3xy^{2}z^{2}\vec{k}
e pede: encontre uma função f(x,y,z) tal que \nabla f(x,y,z)=\vec{F}(x,y,z).
Informações relevantes fornecidas:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=y^{2}z^{3}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=2xyz^{3}+\cos y, \qquad \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=3xy^{2}z^{2}.
O enunciado também afirma que \vec{F} é conservativo (ou seja, existe tal função f).

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): encontrar f significa integrar as derivadas parciais dadas. A relação \nabla f=\vec{F} equivale a três igualdades entre derivadas parciais (as listadas no Passo 1). O procedimento padrão é:
  1. Integrar uma das equações parciais (normalmente a mais simples) em relação à sua variável;
  2. Introduzir uma “constante” de integração que pode depender das outras variáveis;
  3. Determinar essa função desconhecida comparando com as outras derivadas parciais e integrando novamente até fixar todas as partes.
    Vou aplicar esse procedimento passo a passo.

Passo 3

Começo integrando a primeira igualdade em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=y^{2}z^{3}.
Ao integrar em x, tratamos y e z como constantes. A integral de y^{2}z^{3} em relação a x é x y^{2} z^{3}. Como “constante” de integração pode depender de y e z, escrevemos
f(x,y,z)=x y^{2} z^{3}+g(y,z),
onde g é uma função desconhecida de y e z.

Passo 4

Agora usamos a segunda igualdade para encontrar g. Calculamos a derivada parcial de f em relação a y a partir da expressão obtida:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x y^{2} z^{3}\big)+\frac{\partial g}{\partial y}(y,z).
A derivada de x y^{2} z^{3} em relação a y (lembrando que x e z são constantes aqui) é 2 x y z^{3}. Logo
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=2 x y z^{3}+g_{y}(y,z).
Pelo enunciado essa derivada deve ser igual a 2 x y z^{3}+\cos y. Igualando,
2 x y z^{3}+g_{y}(y,z)=2 x y z^{3}+\cos y.
Cancelando os termos iguais, obtemos
g_{y}(y,z)=\cos y.
Isto é uma equação para g vista como função de y (com parâmetro z). Integrando em y,
g(y,z)=\int \cos y\,dy=\sin y + h(z),
onde h(z) é a “constante” de integração agora dependente só de z.

Passo 5

Substituo g em f. Assim
f(x,y,z)=x y^{2} z^{3}+\sin y + h(z).
Agora uso a terceira igualdade para encontrar h(z). Calculo a derivada parcial de f em relação a z:
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial z}\big(x y^{2} z^{3}\big)+\frac{d h}{d z}(z).
A derivada de x y^{2} z^{3} em relação a z é 3 x y^{2} z^{2}. Portanto
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=3 x y^{2} z^{2}+h'(z).
Pelo enunciado essa derivada deve ser 3 x y^{2} z^{2}. Igualando,
3 x y^{2} z^{2}+h'(z)=3 x y^{2} z^{2}.
Daqui segue
h'(z)=0,
ou seja h é constante. Denotando essa constante por C\in\mathbb{R}, obtemos h(z)=C.

Passo 6

Portanto a função potencial f é
f(x,y,z)=x y^{2} z^{3}+\sin y + C,
onde C é uma constante arbitrária. Se quiser, pode verificar rapidamente que as derivadas parciais dessa f devolvem exatamente os componentes de \vec{F}, confirmando que \nabla f=\vec{F}.

Resposta

f(x,y,z)=x y^{2} z^{3}+\sin y + C

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