Dada
, assuma que
conservativo e calcule
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede: encontre uma função
tal que
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
O enunciado também afirma que
é conservativo (ou seja, existe tal função
).
Passo 2
Ideia principal (explicação didática): encontrar
significa integrar as derivadas parciais dadas. A relação
equivale a três igualdades entre derivadas parciais (as listadas no Passo 1). O procedimento padrão é:
- Integrar uma das equações parciais (normalmente a mais simples) em relação à sua variável;
- Introduzir uma “constante” de integração que pode depender das outras variáveis;
- Determinar essa função desconhecida comparando com as outras derivadas parciais e integrando novamente até fixar todas as partes.
Vou aplicar esse procedimento passo a passo.
Passo 3
Começo integrando a primeira igualdade em relação a
:
Ao integrar em
, tratamos
e
como constantes. A integral de
em relação a
é
. Como “constante” de integração pode depender de
e
, escrevemos
onde
é uma função desconhecida de
e
.
Passo 4
Agora usamos a segunda igualdade para encontrar
. Calculamos a derivada parcial de
em relação a
a partir da expressão obtida:
A derivada de
em relação a
(lembrando que
e
são constantes aqui) é
. Logo
Pelo enunciado essa derivada deve ser igual a
. Igualando,
Cancelando os termos iguais, obtemos
Isto é uma equação para
vista como função de
(com parâmetro
). Integrando em
,
onde
é a “constante” de integração agora dependente só de
.
Passo 5
Substituo
em
. Assim
Agora uso a terceira igualdade para encontrar
. Calculo a derivada parcial de
em relação a
:
A derivada de
em relação a
é
. Portanto
Pelo enunciado essa derivada deve ser
. Igualando,
Daqui segue
ou seja
é constante. Denotando essa constante por
, obtemos
.
Passo 6
Portanto a função potencial
é
onde
é uma constante arbitrária. Se quiser, pode verificar rapidamente que as derivadas parciais dessa
devolvem exatamente os componentes de
, confirmando que
.