(a) Para f(x)=\frac{x}{\ln x}, encontre cada um dos seguintes limites.
(i) \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)
(ii) \lim _{x \rightarrow 1} f(x)
(iii) \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)
(b) Use uma tabela de valores para obter uma estimativa de \lim _{x \rightarrow \infty} f(x).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{x}{\ln x} e pede:
(i) \displaystyle \lim_{x\to 0^-} f(x),
(ii) \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x),
(iii) \displaystyle \lim_{x\to 1^+} f(x).
Além disso, a parte (b) pede que, usando uma tabela de valores, eu estime \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\;f(x)=\dfrac{x}{\ln x}.
Deve-se avaliar limites em pontos onde o denominador pode se anular ( \ln 1=0) e no lado negativo de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos ver onde f está definida — isto é crucial para limites. A função \ln x está definida apenas para x>0. Logo, f(x)=\dfrac{x}{\ln x} também só está definida para x>0. Isso significa que não existem valores de f(x) para x<0. Para que um limite lateral \lim_{x\to 0^-} f(x) existisse (no sentido real), precisaríamos de valores de f(x) com x<0 próximos de 0; como esses valores não existem, o limite pela esquerda simplesmente não pode ser calculado como número real — concluímos desde já que \lim_{x\to0^-} f(x) não existe (função não definida para x<0).

Passo 3

Agora vamos estudar o comportamento quando x está perto de 1. Observação importante: \ln 1=0, então ao aproximar x de 1 o denominador tende a 0 enquanto o numerador tende a 1. Para entender o sinal e a direção (±∞), analisamos os limites laterais usando a substituição usual x=1+h com h\to 0. Para h pequeno vale a aproximação (linear) da função logaritmo:
\ln(1+h)\approx h\quad\text{quando }h\to0.
Essa aproximação vem do fato de que a derivada de \ln x em x=1 é 1, ou seja, a expansão de Taylor de primeira ordem é \ln(1+h)=h+o(h).

Passo 4

Analisando o limite pela esquerda de 1: escreva x=1+h com h<0 e h\to0. Usando \ln(1+h)\approx h,
f(1+h)=\frac{1+h}{\ln(1+h)}\approx\frac{1+h}{h}=\frac{1}{h}+1.
Quando h\to0^-, temos \dfrac{1}{h}\to -\infty. Assim \dfrac{1+h}{h}\to -\infty e, portanto,
\lim_{x\to 1^-} f(x) = -\infty.

Passo 5

Analisando o limite pela direita de 1: escreva x=1+h com h>0 e h\to0. De novo \ln(1+h)\approx h, logo
f(1+h)\approx\frac{1+h}{h}=\frac{1}{h}+1.
Quando h\to0^+, tem-se \dfrac{1}{h}\to +\infty. Assim
\lim_{x\to 1^+} f(x) = +\infty.
Como os limites laterais em x=1 são diferentes (um é -\infty e o outro é +\infty), o limite bilateral \lim_{x\to1} f(x) não existe.

Passo 6

Parte (b): o enunciado pede uma estimativa de \lim_{x\to\infty} f(x) usando uma tabela de valores. Vou calcular alguns valores maiores de x e ver a tendência. Lembrete: estou usando o logaritmo natural \ln.
Calculei os seguintes pontos (valores aproximados):
\begin{array}{l} x=10,\quad \ln 10\approx 2{,}302585,\quad f(10)=\dfrac{10}{\ln 10}\approx 4{,}3429,\\[4pt] x=100,\quad \ln 100\approx 4{,}605170,\quad f(100)=\dfrac{100}{\ln 100}\approx 21{,}7147,\\[4pt] x=1000,\quad \ln 1000\approx 6{,}907755,\quad f(1000)=\dfrac{1000}{\ln 1000}\approx 144{,}765,\\[4pt] x=10^{6},\quad \ln 10^{6}\approx 13{,}815511,\quad f(10^{6})=\dfrac{10^{6}}{\ln 10^{6}}\approx 72\,382{,}4. \end{array}
Da tabela vemos que, conforme x aumenta, f(x) cresce muito: de cerca de 4{,}3 para 21{,}7 para 144{,}8 e já \sim7,2\cdot10^{4} em x=10^{6}. Isso sugere fortemente que f(x)\to +\infty quando x\to\infty.]

Passo 7

Para completar com uma justificativa analítica simples: considere a função g(x)=\dfrac{\ln x}{x}. Para x\to\infty temos forma \dfrac{\infty}{\infty} e, aplicando a Regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{(1/x)}{1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.
Como \dfrac{x}{\ln x}=\dfrac{1}{(\ln x)/x} e (\ln x)/x\to0^+, segue que \dfrac{x}{\ln x}\to +\infty. Isso confirma a estimativa da tabela: \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=+\infty.

Resposta

(a)(i) Não existe (função não definida para x<0).
(a)(ii) Não existe (limite bilateral não existe; \lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty e \lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty).
(a)(iii) \displaystyle \lim_{x\to1^+} f(x)=+\infty.
(b) \displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=+\infty.

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