(a) Para
, encontre cada um dos seguintes limites.
(i)
(ii)
(iii)
(b) Use uma tabela de valores para obter uma estimativa de
.
(i)
(ii)
(iii)
(b) Use uma tabela de valores para obter uma estimativa de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
(i) ,
(ii) ,
(iii) .
Além disso, a parte (b) pede que, usando uma tabela de valores, eu estime .
(i)
(ii)
(iii)
Além disso, a parte (b) pede que, usando uma tabela de valores, eu estime
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
.
Deve-se avaliar limites em pontos onde o denominador pode se anular ( ) e no lado negativo de zero.
Deve-se avaliar limites em pontos onde o denominador pode se anular (
Passo 2
Primeiro, vamos ver onde
está definida — isto é crucial para limites. A função
está definida apenas para
. Logo,
também só está definida para
. Isso significa que não existem valores de
para
. Para que um limite lateral
existisse (no sentido real), precisaríamos de valores de
com
próximos de
; como esses valores não existem, o limite pela esquerda simplesmente não pode ser calculado como número real — concluímos desde já que
não existe (função não definida para
).
Passo 3
Agora vamos estudar o comportamento quando
está perto de
. Observação importante:
, então ao aproximar
de
o denominador tende a
enquanto o numerador tende a
. Para entender o sinal e a direção (±∞), analisamos os limites laterais usando a substituição usual
com
. Para
pequeno vale a aproximação (linear) da função logaritmo:
Essa aproximação vem do fato de que a derivada de
em
é
, ou seja, a expansão de Taylor de primeira ordem é
.
Passo 4
Analisando o limite pela esquerda de
: escreva
com
e
. Usando
,
Quando
, temos
. Assim
e, portanto,
Passo 5
Analisando o limite pela direita de
: escreva
com
e
. De novo
, logo
Quando
, tem-se
. Assim
Como os limites laterais em
são diferentes (um é
e o outro é
), o limite bilateral
não existe.
Passo 6
Parte (b): o enunciado pede uma estimativa de
usando uma tabela de valores. Vou calcular alguns valores maiores de
e ver a tendência. Lembrete: estou usando o logaritmo natural
.
Calculei os seguintes pontos (valores aproximados):
Da tabela vemos que, conforme
aumenta,
cresce muito: de cerca de
para
para
e já
em
. Isso sugere fortemente que
quando
.]
Passo 7
Para completar com uma justificativa analítica simples: considere a função
. Para
temos forma
e, aplicando a Regra de L’Hôpital,
Como
e
, segue que
. Isso confirma a estimativa da tabela:
.
Resposta
(a)(i) Não existe (função não definida para
).
(a)(ii) Não existe (limite bilateral não existe; e
).
(a)(iii) .
(b) .
(a)(ii) Não existe (limite bilateral não existe;
(a)(iii)
(b)